Математические модели, составляют абстрактную часть спектра (рис. 7.2), в целях удобства их использования в различных отраслях, в том числе и в логистике, классифицируют по шести наиболее представительными признакам:

Способа получения модели;

Способа описания или представление объекта или его свойств;

Способа формализации объекта или его свойств;

Принадлежности к иерархического уровня;

Степени масштабности описания объекта или его свойств;

Степени сложности описания объекта или его свойств.

По способу получения модели делятся на теоретические , нейронные (персептроны) и эмпирические .

Теоретические модели выводятся математически на основе знания первичных законов классической механики, электродинамики, химии и т.д. Модели, полученные из реальной жизни на основе статистической обработки результатов наблюдений, формируют группу эмпирических. Проблема построения эмпирической модели включает и выбор формы этой модели, подходящей, а также разумной степени ее сложности, совместим с имеющимися экспериментальными данными.

За последние годы в области моделирования экономических процессов все большее значение приобретают нейронные модели (персептроны). Нейронная модель (персептрон) состоит из бинарных нейроподобных элементов и имеет простую топологию.

Самый персептрон включает в себя матрицы бинарных входов (сенсорных нейронов или сетчатки, куда подаются входные образы), набора бинарных нейроподобних элементов с фиксированными связями к подмножеств сетчатки, бинарного Нейроподобная элемента с модифицированными связями в этих предикатов (элементов, решают) .

Предварительно персептрон использовался для решения задачи автоматической классификации, в общем состоит в разделении пространства признаков между заданным количеством классов. В сегодняшних условиях на уровне нейронных сетей можно решить проблему логистического прогнозирования, которая формализуется через задачу распознавания образов.

Рассмотрим следующий пример. Есть данные по текущему спросу на продукцию фирмы за шесть лет (Ас = 6): 71, 80, 101, 84, 60, 73.

Для формализации задачи используем метод окон. Зададим размеры окон η = 3, т = 1 и уровень возбуждения Нейроподобная элемента s = 1. Далее, с помощью метода окон с уже фиксированными параметрами n, т, s для нейронной сети генерируется следующая обучающая выборка:

Как видим, каждый последующий вектор образуется в результате сдвига окон W и и W 0 вправо на один элемент (s = 1). При этом предполагается наличие скрытых зависимостей во временной последовательности как множестве наблюдений.

Нейронная сеть, обучаясь на этих наблюдениях и соответственно настраивая свои коэффициенты, пытается извлечь эти закономерности и сформировать в результате ожидаемую функцию прогноза, то есть "построить" модель . Прогнозирование осуществляется по тому же принципу, что и формирование обучающей выборки.

По способу описания объекта модели делятся следующим образом:

1) алгебраические;

2) регрессионно-корреляционные;

3) вероятностно-статистические, объединяющих в себе модели теории очередей, модели запасов и статистические модели;

4) математического программирования - линейного программирования, сетевые (поточные).

Относительно первой группы моделей - алгебраических , необходимо сразу оговориться, что они по сути своей для логиста носят вспомогательный характер для принятия правильного решения. Алгебраические модели используются обычно при решении таких задач, как анализ "критической точки" и анализ "затраты - прибыль".

Регрессионно-корреляционные модели , представляющие вторую группу, является обобщением экстраполяционных и статистических моделей и используются для описания специфики объекта или его свойств.

Третью группу составляют вероятностно-статистические модели , основанные на фенологических явлениях и гипотезах. Данные модели могут быть детерминированными или стохастическими. Так, например, зависимость В = φ (Χ), которая установлена по результатам наблюдений случайных величин X и В методом наименьших квадратов, представляет собой детерминированную модель. Если же учесть наблюдаемые в результате опытов случайные отклонения экспериментальных точек от кривой У = φ (Х) и записать зависимость В от X в виде В = φ (Χ) + Ζ (где Ζ - некоторая случайная величина), то получим стохастической модели в ее идеальном выражении.

При этом величины X и В могут быть как скалярными, так и векторными. Функция φ (Χ) может быть как линейной комбинацией этих функций, так и данной нелинейной функцией, параметры которой определяются методом наименьших квадратов.

Модели линейного программирования все шире используются для решения задач логистической направленности.

Кто знаком с математическим программированием, тот знает, что ее решить в общем виде практически невозможно. Однако наиболее разработанными в математическом программировании есть задачи линейного программирования.

В задачах линейного программирования целевая функция линейная, а условия-ограничения включают линейные равенства и линейные неравенства; переменные могут быть подчинены или не подчинены требованию непреложности.

Для демонстрации простоты решений логистических задач с помощью линейного программирования обратимся к двум известным задач:

Первая - о бабку, что собирается на рынок, чтобы продать живность, которая выросла у нее во дворе за год;

Вторая - о питании.

Задача первая (о бабку)

Суть данной задачи сводится к получению ответа на простой вопрос: "Сколько надо взять бабки для продажи на рынке живых гусей, уток и кур, чтобы она получила наибольшую выручку при условии, что она может доставить на рынок живности массой не более Р кг?". При этом известны:

Масса курицы (т,), утки (т 2 ) и гуся (т3)

Стоимость курицы (с7), утки (с2) и гуся (с3).

Рассмотрим алгоритм решения задачи.

1. Для решения задачи обозначим количество, соответственно, кур - х 1 уток - х 2, гусей - х 3, взятых бабкой для продажи на рынок.

2. Составим целевую функцию этой задачи:

3. Опишем ограничения на решение задачи.

Масса товара, бабка может доставить одновременно на рынок, не должна превысить Р килограмм:

Значение , и должны быть положительными целыми числами (), то есть:

Выполнив три описанных шаги, получаем задачу линейного программирования. Подставляя исходные значения х, т, с и Р, находим ответ на поставленный вопрос.

Задача вторая (о питании)

Кафе "Бистро" ежедневно в магазине закупает продукты питания для приготовления определенных блюд для своих посетителей. В рацион входят три различных питательных вещества (b ) и нужно их, соответственно, не менее b 1, b 2, b 3 единиц. В магазине продается пять видов различных продуктов х 1 - х 5 по цене, соответственно, С-И - с 5.

Каждая единица продукта i-го вида (х i) содержит а иj единиц j-й питательного вещества, то есть, например, а 2 с показывает, что в единицы второго продукта третьей питательного вещества будет а 23 единиц.

Поскольку кафе работает в окружении конкурентов, необходимо правильно определить количество продуктов каждого вида х 1 - x 5, которые стоит закупить. При этом надо выполнить следующие условия:

1) чтобы стоимость продуктов была минимальной;

2) чтобы в рационе блюд в нужном количестве содержались все необходимые питательные вещества.

Математическая постановка решения задачи будет следующая:

1. Целевая функция данной задачи - минимизировать стоимость продуктов х 1 - х 5. Математически это будет выглядеть следующим образом:

2. Условия ограничения решения задачи:

а) количество первой питательного вещества должна быть не менее b 1 ,:

б) количество второй питательного вещества должна быть не менее b 2 :

в) количество третьей питательного вещества должна быть не менее b 3:

При этом следует иметь в виду, что количество продуктов не может иметь отрицательное число, то есть:

Для правильного понимания решения приведенной задачи рассмотрим следующий пример.

Пусть в данной задачи будем иметь следующие исходные данные:

Целевая функция будет иметь следующий вид:

Определять минимальное значение функции надо при условии выполнения следующих ограничений:

Имея в виду, что количество продуктов не может быть отрицательным числом, принимаем, что

В результате решения задачи по представленным исходным данным имеем следующий ответ: и . При данных значениях целевая функция будет иметь следующее значение:

Сетевые (поточные) модели.

Важным классом задач математического программирования являются так называемые сетевые (поточные) задачи, в терминах которых могут быть сформулированы задачи линейного программирования.

Рассмотрим в качестве примера так называемую транспортную задачу (рис. 7.3), что является одной из первых потоковых задач, которая была решена в 1941 г.. Ф.Л. Хитчкок.

Пусть есть два завода (1 и 2) и три состава (А, Б, В). Заводы производят, соответственно, s1 и s2 единиц продукции. Склады имеют возможность принять на хранение d1, d2 и d3 единиц продукции, то есть:

Задача состоит в том, чтобы минимизировать затраты на перевозку продукции от заводов-производителей на склады. Зададим следующие исходные условия. Предположим, ЧТО Х ij - объем продукции, который необходимо перевезти из i-го завода на j-й состав; с - - стоимость перевозки единицы продукции с i-го завода на j-й состав. Тогда целевая функция задачи - стоимость перевозки, будет иметь следующий вид:

Рис. 7.3.

Условие того, что вся продукция будет транспортироваться с каждого завода:

Данные равенства можно записать в краткой форме, а именно:

Условие заполнения складов имеет следующий вид: причем

Данная модель может быть описана с помощью сети, если предположить, что узлами сети есть заводы и склады, а дугами - дороги для перевозки груза (рис. 7.3). Сформулирована транспортная задача является частным случаем задачи поиска потока минимальной стоимости в пределах сети.

Сетевые задачи применяют при проектировании и усовершенствованные больших и сложных систем, а также при условии поиска путей их наиболее рационального использования. В первую очередь, это связано с тем, что с помощью сетей можно достаточно просто построить модель системы. Последнее базируется на идее критического пути (метод СРМ) и оценке и средствах наблюдения (например, система PERT- Program Evalution Research Task).

Кроме того, сети позволяют осуществить :

Формализацию модели сложной системы как совокупности простых систем (в этом случае логистической системы как совокупности ее подсистем и звеньев - закупки, складов, транспортировки, запасов, производства, распределения и сбыта);

Составление формальных процедур для определения качественных характеристик системы;

Определение механизма взаимодействия компонентов управляющей системы с целью описания последней в терминах ее основных характеристик;

Определение данных, необходимых для исследования логистической системы и ее основных подсистем;

Начальное исследование управляющей системы, составление предварительного расписания работы ее компонентов.

Основное преимущество сетевого подхода заключается в том, что он может быть успешно применен к решению практически любых задач, когда можно точно построить сетевую модель.

Обобщенная характеристика математических моделей, классифицируемых по способу описания объекта, приведена в табл. 7.3. В таблице указаны наиболее подходящие области применения данных моделей с предварительно обозначенной точностью получаемых оценок. Данная информация полезна логистам на этапе построения моделей или выбора последних для решения возникшей проблемы.

По характеру отображаемых свойств объекта модели классифицируются на структурные и функциональные, которые в совокупности отражают взаимосвязь и взаимное влияние отдельных элементов на процессы, протекающие в объекте при его функционировании или изготовлении.

Структурные модели предназначены для отображения структурных свойств объекта состава, взаимосвязи и взаимного расположения, а также формы компонентов.

Функциональные модели предназначены в большей степени для отображения процессов, протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении, и, как правило, содержат алгоритмы, связывающие фазовые переменные, внутренние, внешние или выходные параметры.

Таблица 7.3

Характерные черты математических моделей

По способу формализации объекта при сложности имеющихся ситуаций возникает необходимость в упрощенном их описании с помощью аналитических и алгоритмических моделей, должным образом

"Абстрагируют" избранные "существенные" свойства объектов и ситуаций. Компьютерная имитация реальных объектов - это ценный инструмент для анализа сложных систем сервиса, политики обслуживания и инвестиционного выбора.

Распределение объектов на иерархические уровни приводит к определенным уровней моделирования, иерархия которых определяется как сложностью объектов, так и возможностью средств управления. Поэтому, согласно принадлежности к иерархического уровня, математические модели делятся на микро-, макро- и метамодели. Отличие данных моделей заключается в том, что на более высоком уровне иерархии компоненты модели принимают вид довольно сложных совокупностей элементов предыдущего уровня. Этими же качествами определяется и разделение моделей по степени масштабности и сложности описания объекта.

Приведенная классификация моделей призвана помочь логистам в более оперативном и правильном принятии решений в целях осуществления миссии организации.

Представь себе самолет: крылья, фюзеляж, хвостовое оперение, все это вместе - настоящий огромный, необъятный, целый самолет. А можно сделать модель самолета, маленькую, но все как взаправду, те же крылья и т.д., но компактный. Так же и математическая модель. Есть текстовая задача, громоздкая, на нее можно так посмотреть, прочесть, но не совсем понять, и уж тем более не ясно как решать ее. А что если сделать из большой словесной задачи ее маленькую модель, математическую модель? Что значит математическую? Значит, используя правила и законы математической записи, переделать текст в логически верное представление при помощи цифр и арифметических знаков. Итак, математическая модель - это представление реальной ситуации с помощью математического языка.

Начнем с простого: Число больше числа на. Нам нужно записать это, не используя слов, а только язык математики. Если больше на, то получается, что если мы из вычтем, то останется та самая разность этих чисел равная. Т.е. или. Суть понял?

Теперь посложнее, сейчас будет текст, который ты должен попробовать представить в виде математической модели, пока не читай, как это сделаю я, попробуй сам! Есть четыре числа: , и. Произведение и больше произведения и в два раза.

Что получилось?

В виде математической модели выглядеть это будет так:

Т.е. произведение относится к как два к одному, но это можно еще упросить:

Ну ладно, на простых примерах ты понял суть, я так полагаю. Переходим к полноценным задачам, в которых эти математические модели еще и решать нужно! Вот задача.

Математическая модель на практике

Задача 1

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле, где — расстояние в метрах, — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на с? Ответ выразите в метрах.

О, ужас! Какие формулы, что за колодец, что происходит, что делать? Я прочел твои мысли? Расслабься, в задачах этого типа условия бывают и пострашнее, главное помнить, что тебя в этой задаче интересуют формулы и отношения между переменными, а что все это обозначает в большинстве случаев не очень важно. Что ты тут видишь полезного? Я лично вижу. Принцип решения этих задач следующий: берешь все известные величины и подставляешь. НО, задумываться иногда надо!

Последовав моему первому совету, и,подставив все известные в уравнение, получим:

Это я подставил время секунды, и нашел высоту, которую пролетал камень до дождя. А теперь надо посчитать после дождя и найти разницу!

Теперь прислушайся ко второму совету и задумайся, в вопросе уточняется, «на сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на с». Сразу надо прикинуть, тааак, после дождя уровень воды повышается, значит, время падения камня до уровня воды меньше и тут витиеватая фраза «чтобы измеряемое время изменилось» приобретает конкретный смысл: время падения не увеличивается, а сокращается на указанные секунды. Это означает, что в случае броска после дождя, нам просто нужно из начального времени c вычесть с, и получим уравнение высоты, которую камень пролетит после дождя:

Ну и наконец, чтобы найти, на сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на с., нужно просто вычесть из первой высоты падения вторую!

Получим ответ: на метра.

Как видишь, ничего сложного нет, главное, особо не заморачивайся, откуда такое непонятное и порой сложное уравнение в условиях взялось и что все в нем означает, поверь на слово, большинство этих уравнений взяты из физики, а там дебри похлеще, чем в алгебре. Мне иногда кажется, что эти задачи придуманы, чтоб запугать ученика на ЕГЭ обилием сложных формул и терминов, а в большинстве случаев не требуют почти никаких знаний. Просто внимательно читай условие и подставляй известные величины в формулу!

Вот еще задача, уже не по физике, а из мира экономической теории, хотя знаний наук кроме математики тут опять не требуется.

Задача 2

Зависимость объёма спроса (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены (тыс. руб.) задаётся формулой

Выручка предприятия за месяц (в тыс. руб.) вычисляется по формуле. Определите наибольшую цену, при которой месячная выручка составит не менее тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Угадай, что сейчас сделаю? Ага, начну подставлять то, что нам известно, но, опять же, немного подумать все же придется. Пойдем с конца, нам нужно найти при котором. Так, есть, равно какому-то, находим, чему еще равно это, а равно оно, так и запишем. Как ты видишь, я особо не заморачиваюсь о смысле всех этих величин, просто смотрю из условий, что чему равно, так тебе поступать и нужно. Вернемся к задаче, у тебя уже есть, но как ты помнишь из одного уравнения с двумя переменными ни одну из них не найти, что же делать? Ага, у нас еще в условии осталась неиспользованная частичка. Вот, уже два уравнения и две переменных, значит, теперь обе переменные можно найти - отлично!

Такую систему решить сможешь?

Решаем подстановкой, у нас уже выражена, значит, подставим ее в первое уравнение и упростим.

Получается вот такое квадратное уравнение: , решаем, корни вот такие, . В задании требуется найти наибольшую цену, при которой будут соблюдаться все те условия, которые мы учли, когда систему составляли. О, оказывается это было ценой. Прикольно, значит, мы нашли цены: и. Наибольшую цену, говорите? Окей, наибольшая из них, очевидно, ее в ответ и пишем. Ну как, сложно? Думаю, нет, и вникать не надо особо!

А вот тебе и устрашающая физика, а точнее еще одна задачка:

Задача 3

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому, где — мощность излучения звезды, — постоянная, — площадь поверхности звезды, а — температура. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна, а мощность её излучения равна Вт. Найдите температуру этой звезды в градусах Кельвина.

Откуда и понятно? Да, в условии написано, что чему равно. Раньше я рекомендовал все неизвестные сразу подставлять, но здесь лучше сначала выразить неизвестное искомое. Смотри как все просто: есть формула и в ней известны, и (это греческая буква «сигма». Вообще, физики любят греческие буквы, привыкай). А неизвестна температура. Давай выразим ее в виде формулы. Как это делать, надеюсь, знаешь? Такие задания на ГИА в 9 классе обычно дают:

Теперь осталось подставить числа вместо букв в правой части и упростить:

Вот и ответ: градусов Кельвина! А какая страшная была задача, а!

Продолжаем мучить задачки по физике.

Задача 4

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону, где — высота в метрах, — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трех метров?

То были всё уравнения, а вот здесь надо определить, сколько мяч находился на высоте не менее трех метров, это значит на высоте. Что мы составлять будем? Неравенство, именно! У нас есть функция, которая описывает как летит мяч, где - это как раз та самая высота в метрах, нам нужна высота. Значит

А теперь просто решаешь неравенство, главное, не забудь поменять знак неравенства с больше либо равно на меньше, либо равно, когда будешь умножать на обе части неравенства, чтоб перед от минуса избавиться.

Вот такие корни, строим интервалы для неравенства:

Нас интересует промежуток, где знак минус, поскольку неравенство принимает там отрицательные значения, это от до оба включительно. А теперь включаем мозг и тщательно думаем: для неравенства мы применяли уравнение, описывающее полет мяча, он так или иначе летит по параболе, т.е. он взлетает, достигает пика и падает, как понять, сколько времени он будет находиться на высоте не менее метров? Мы нашли 2 переломные точки, т.е. момент, когда он взмывает выше метров и момент, когда он, падая, достигает этой же отметки, эти две точки выражены у нас в виде времени, т.е. мы знаем на какой секунде полета он вошел в интересующую нас зону (выше метров) и в какую вышел из нее (упал ниже отметки в метра). Сколько секунд он находился в этой зоне? Логично, что мы берем время выхода из зоны и вычитаем из него время вхождения в эту зону. Соответственно: - столько он находился в зоне выше метров, это и есть ответ.

Так уж тебе повезло, что больше всего примеров по этой теме можно взять из разряда задачек по физике, так что лови еще одну, она заключительная, так что поднапрягись, осталось совсем чуть-чуть!

Задача 5

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры от времени работы:

Где — время в минутах, . Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Действуем по отлаженной схеме, все, что дано, сперва выписываем:

Теперь берем формулу и приравниваем ее к значению температуры, до которой максимально можно нагреть прибор пока он не сгорит, то есть:

Теперь подставляем вместо букв числа там, где они известны:

Как видишь, температура при работе прибора описывается квадратным уравнением, а значит, распределяется по параболе, т.е. прибор нагревается до какой-то температуры, а потом остывает. Мы получили ответы и, следовательно, при и при минутах нагревания температура равна критической, но между и минутами - она еще выше предельной!

А значит, отключить прибор нужно через минуты.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Чаще всего математические модели используются в физике: тебе ведь наверняка приходилось запоминать десятки физических формул. А формула - это и есть математическое представление ситуации.

В ОГЭ и ЕГЭ есть задачи как раз на эту тему. В ЕГЭ (профильном) это задача номер 11 (бывшая B12). В ОГЭ - задача номер 20.

Схема решения очевидна:

1) Из текста условия необходимо «вычленить» полезную информацию - то, что в задачах по физике мы пишем под словом «Дано». Этой полезной информацией являются:

• Формула
• Известные физические величины.

То есть каждой букве из формулы нужно поставить в соответствие определенное число.

2) Берешь все известные величины и подставляешь в формулу. Неизвестная величина так и остается в виде буквы. Теперь нужно только решить уравнение (обычно, довольно простое), и ответ готов.

Понятие модели и моделирования.

Модель в широком смысле - это любой образ, аналог мысленный или установленный изображение, описание, схема, чертеж, карта и т. п. какого либо объема, процесса или явления, используемый в качестве его заменителя или представителя. Сам объект, процесс или явление называется оригиналом данной модели.

Моделирование - это исследование какого либо объекта или системы объектов путем построения и изучения их моделей. Это использование моделей для определения или уточнения характеристик и рационализации способов построения вновь конструируемых объектов.

На идее моделирования базируется любой метод научного исследования, при этом, в теоретических методах используются различного рода знаковые, абстрактные модели, в экспериментальных - предметные модели.

При исследовании сложное реальное явление заменяется некоторой упрощенной копией или схемой, иногда такая копия служит лишь только для того чтобы запомнить и при следующей встрече узнать нужное явление. Иногда построенная схема отражает какие - то существенные черты, позволяет разобраться в механизме явления, дает возможность предсказать его изменение. Одному и тому же явлению могут соответствовать разные модели.

Задача исследователя - предсказывать характер явления и ход процесса.

Иногда, бывает, что объект доступен, но эксперименты с ним дорогостоящи или привести к серьезным экологическим последствиям. Знания о таких процессах получают с помощью моделей.

Важный момент - сам характер науки предполагает изучение не одного конкретного явления, а широкого класса родственных явлений. Предполагает необходимость формулировки каких - то общих категорических утверждений, которые называются законами. Естественно, что при такой формулировке многими подробностями пренебрегают. Чтобы более четко выявить закономерность сознательно идут на огрубление, идеализацию, схематичность, то есть изучают не само явление, а более или менее точную ее копию или модель. Все законы- это законы о моделях, а поэтому нет ничего удивительного в том, что с течением времени некоторые научные теории признаются непригодными. Это не приводит к краху науки, поскольку одна модель заменилась другой более современной .

Особую роль в науке играют математические модели, строительный материал и инструменты этих моделей - математические понятия. Они накапливались и совершенствовались в течении тысячелетий. Современная математика дает исключительно мощные и универсальные средства исследования. Практически каждое понятие в математике, каждый математический объект, начиная от понятия числа, является математической моделью. При построении математической модели, изучаемого объекта или явления выделяют те его особенности, черты и детали, которые с одной стороны содержат более или менее полную информацию об объекте, а с другой допускают математическую формализацию. Математическая формализация означает, что особенностям и деталям объекта можно поставить в соответствие подходящие адекватные математические понятия: числа, функции, матрицы и так далее. Тогда связи и отношения, обнаруженные и предполагаемые в изучаемом объекте между отдельными его деталями и составными частями можно записать с помощью математических отношений: равенств, неравенств, уравнений. В результате получается математическое описание изучаемого процесса или явление, то есть его математическая модель.

Изучение математической модели всегда связанно с некоторыми правилами действия над изучаемыми объектами. Эти правила отражают связи между причинами и следствиями.

Построение математической модели - это центральный этап исследования или проектирования любой системы. От качества модели зависит весь последующий анализ объекта. Построение модели - это процедура не формальная. Сильно зависит от исследователя, его опыта и вкуса, всегда опирается на определенный опытный материал. Модель должна быть достаточно точной, адекватной и должна быть удобна для использования.

Математическое моделирование.

Классификация математических моделей.

Математические модели могут быть детерменированными и стохастическими .

Детерменированные модели- это модели, в которых установлено взаимно-однозначное соответствие между переменными описывающими объект или явления.

Такой подход основан на знании механизма функционирования объектов. Часто моделируемый объект сложен и расшифровка его механизма может оказаться очень трудоемкой и длинной во времени. В этом случае поступают следующим образом: на оригинале проводят эксперименты, обрабатывают полученные результаты и, не вникая в механизм и теорию моделируемого объекта с помощью методов математической статистики и теории вероятности, устанавливают связи между переменными, описывающими объект. В этом случае получают стахостическую модель. В стахостической модели связь между переменными носит случайный характер, иногда это бывает принципиально. Воздействие огромного количества факторов, их сочетание приводит к случайному набору переменных описывающих объект или явление. По характеру режимов модель бывают статистическими и динамическими .

Статистическая модель включает описание связей между основными переменными моделируемого объекта в установившемся режиме без учета изменения параметров во времени.

В динамической модели описываются связи между основными переменными моделируемого объекта при переходе от одного режима к другому.

Модели бывают дискретными и непрерывными , а также смешанного типа. В непрерывных переменные принимают значения из некоторого промежутка, в дискретных переменные принимают изолированные значения.

Линейные модели - все функции и отношения, описывающие модель линейно зависят от переменных и не линейные в противном случае.

Математическое моделирование.

Требования,п редъявляемые к моделям.

1. Универсальность - характеризует полноту отображения моделью изучаемых свойств реального объекта.

1. Адекватность - способность отражать нужные свойства объекта с погрешностью не выше заданной.
2. Точность - оценивается степенью совпадения значений характеристик реального объекта и значения этих характеристик полученных с помощью моделей.
3. Экономичность - определяется затратами ресурсов ЭВМ памяти и времени на ее реализацию и эксплуатацию.

Математическое моделирование.

Основные этапы моделирования.

1. Постановка задачи.

Определение цели анализа и пути ее достижения и выработки общего подхода к исследуемой проблеме. На этом этапе требуется глубокое понимание существа поставленной задачи. Иногда, правильно поставить задачу не менее сложно чем ее решить. Постановка - процесс не формальный, общих правил нет.

2. Изучение теоретических основ и сбор информации об объекте оригинала.

На этом этапе подбирается или разрабатывается подходящая теория. Если ее нет, устанавливаются причинно - следственные связи между переменными описывающими объект. Определяются входные и выходные данные, принимаются упрощающие предположения.

3. Формализация.

Заключается в выборе системы условных обозначений и с их помощью записывать отношения между составляющими объекта в виде математических выражений. Устанавливается класс задач, к которым может быть отнесена полученная математическая модель объекта. Значения некоторых параметров на этом этапе еще могут быть не конкретизированы.

4. Выбор метода решения.

На этом этапе устанавливаются окончательные параметры моделей с учетом условия функционирования объекта. Для полученной математической задачи выбирается какой - либо метод решения или разрабатывается специальный метод. При выборе метода учитываются знания пользователя, его предпочтения, а также предпочтения разработчика.

5. Реализация модели.

Разработав алгоритм, пишется программа, которая отлаживается, тестируется и получается решение нужной задачи.

6. Анализ полученной информации.

Сопоставляется полученное и предполагаемое решение, проводится контроль погрешности моделирования.

7. Проверка адекватности реальному объекту.

Результаты, полученные по модели сопоставляются либо с имеющейся об объекте информацией или проводится эксперимент и его результаты сопоставляются с расчётными.

Процесс моделирования является итеративным. В случае неудовлетворительных результатов этапов 6. или 7. осуществляется возврат к одному из ранних этапов, который мог привести к разработке неудачной модели. Этот этап и все последующие уточняются и такое уточнение модели происходит до тех пор, пока не будут получены приемлемые результаты.

Математическая модель - это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования - исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование - это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы...» Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений.

1.1.2 2. Основные этапы математического моделирования

1) Построение модели . На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект - явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель . На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

1.1.3 3. Классификация моделей

Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие - как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф - это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).

По характеру исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ВСЕОБЩАЯ КОМПЬЮТЕРИЗАЦИЯ ИЛИ ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ

Сейчас, когда в стране происходит чуть ли не всеобщая компьютеризация, от специалистов различных профессий приходится слышать высказывания: "Вот внедрим у себя ЭВМ, тогда все задачи сразу же будут решены". Эта точка зрения совершенно не верна, сами по себе ЭВМ без математических моделей тех или иных процессов ничего сделать не смогут и о всеобщей компьютеризации можно лишь мечтать.

В подтверждение вышесказанного попытаемся обосновать необходимость моделирования, в том числе математического, раскроем его преимущества в познании и преобразовании человеком внешнего мира, выявим существующие недостатки и пойдем… к имитационному моделированию, т.е. моделированию с использованием ЭВМ. Но все по порядку.

Прежде всего, ответим на вопрос: что такое модель?

Модель – это материальный или мысленно представленный объект, который в процессе познания (изучения) замещает оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные свойства.

Хорошо построенная модель доступнее для исследования – нежели реальный объект. Например, недопустимы эксперименты с экономикой страны в познавательных целях, здесь без модели не обойтись.

Резюмируя сказанное можно ответить на вопрос: для чего нужны модели? Для того, чтобы

• понять, как устроен объект (его структура, свойства, законы развития, взаимодействия с окружающим миром).
• научиться управлять объектом (процессом) и определять наилучшие стратегии
• прогнозировать последствия воздействия на объект.

Что положительного в любой модели? Она позволяет получить новые знания об объекте, но, к сожалению, в той или иной степени не полна.

Модель сформулированная на языке математики с использованием математических методов называется математической моделью.

Исходным пунктом ее построения обычно является некоторая задача, например экономическая. Широко распространены, как дескриптивные, так и оптимизационные математические, характеризующие различные экономические процессы и явления, например:

• распределение ресурсов
• рациональный раскрой
• транспортные перевозки
• укрупнение предприятий
• сетевое планирование.

Каким образом происходит построение математической модели?

• Во–первых , формулируется цель и предмет исследования.
• Во–вторых , выделяются наиболее важные характеристики, соответствующие данной цели.
• В–третьих, словесно описываются взаимосвязи между элементами модели.
• Далее взаимосвязь формализуется.
• И производится расчет по математической модели и анализ полученного решения.

Используя данный алгоритм можно решить любую оптимизационную задачу, в том числе и многокритериальную, т.е. ту в которой преследуется не одна, а несколько целей, в том числе противоречивых.

Приведем пример. Теория массового обслуживания – проблема образования очередей. Нужно уравновесить два фактора – затраты на содержание обслуживающих устройств и затраты на пребывание в очереди. Построив формальное описание модели производят расчеты, используя аналитические и вычислительные методы. Если модель хороша, то ответы найденные с ее помощью адекватны моделирующей системе, если плоха, то подлежит улучшению и замене. Критерием адекватности служит практика.

Оптимизационные модели, в том числе многокритериальные, имеют общее свойство– из вестна цель(или несколько целей) для достижения которой часто приходится иметь дело со сложными системами, где речь идет не столько о решении оптимизационных задач, сколько об исследовании и прогнозировании состояний в зависимости от избираемых стратегий управления. И здесь мы сталкиваемся с трудностями реализации прежнего плана. Они состоят в следующем:

• сложная система содержит много связей между элементами
• реальная система подвергается влиянию случайных факторов, учет их аналитическим путем невозможен
• возможность сопоставления оригинала с моделью существует лишь в начале и после применения математического аппарата, т.к. промежуточные результаты могут не иметь аналогов в реальной системе.

В связи с перечисленными трудностями, возникающими при изучении сложных систем, практика потребовала более гибкий метод, и он появился – имитационное моделирование "Simujation modeling ".

Обычно под имитационной моделью понимается комплекс программ для ЭВМ, описывающий функционирование отдельных блоков систем и правил взаимодействия между ними. Использование случайных величин делает необходимым многократное проведение экспериментов с имитационной системой (на ЭВМ) и последующий статистический анализ полученных результатов. Весьма распространенным примером использования имитационных моделей является решение задачи массового обслуживания методом МОНТЕ–КАРЛО.

Таким образом, работа с имитационной системой представляет собой эксперимент, осуществляемый на ЭВМ. В чем же заключаются преимущества?

–Большая близость к реальной системе, чем у математических моделей;

–Блочный принцип дает возможность верифицировать каждый блок до его включения в общую систему;

–Использование зависимостей более сложного характера, не описываемых простыми математическими соотношениями.

Перечисленные достоинства определяют недостатки

–построить имитационную модель дольше, труднее и дороже;

–для работы с имитационной системой необходимо наличие подходящей по классу ЭВМ;

–взаимодействие пользователя и имитационной модели (интерфейс) должно быть не слишком сложным, удобным и хорошо известным;

–построение имитационной модели требует более глубокого изучения реального процесса, нежели математическое моделирование.

Встает вопрос: может ли имитационное моделирование заменить методы оптимизации? Нет, но удобно дополняет их. Имитационная модель – это программа, реализующая некоторый алгоритм, для оптимизации управления которым прежде решается оптимизационная задача.

Итак, ни ЭВМ, ни математическая модель, ни алгоритм для ее исследования порознь не могут решить достаточно сложную задачу. Но вместе они представляют ту силу, которая позволяет познавать окружающий мир, управлять им в интересах человека.

1.2 Классификация моделей

Рассмотрим понятие: «Модели. Классификация моделей» с научной точки зрения.

Классификация

В настоящее время существует деление их на отдельные группы. В зависимости от целевого назначения подразумевается такая классификация экономико-математических моделей:

• теоретико-аналитические виды, связанные с исследованиями общих характеристик и закономерностей;
• прикладные модели, направленные на решение определенных экономических задач. К ним относят модели прогнозирования, экономического анализа, управления.

Классификация экономико-математических моделей связана и со сферой их практического применения.

В зависимости от содержательной проблематики, такие модели подразделяют на группы:

• производственные модели в целом;
• отдельные варианты для регионов, подсистем, отраслей;
• комплексы моделей потребления, производства, распределения и формирования трудовых ресурсов, доходов, финансовых связей.

Классификация моделей данных групп подразумевает выделение структурных, подсистем.

При проведении исследований на хозяйственном уровне структурных моделей объясняется взаимосвязью отдельных подсистем. В качестве распространенных вариантов можно выделить модели межотраслевых систем.

Функциональные варианты используются для экономического регулирования товарно-денежных отношений. Можно один и тот же объект представить в виде функциональной, структурной форм одновременно.

Применение в исследованиях на хозяйственном уровне структурных моделей обосновано взаимосвязью подсистем. Типичными в данном случае являются модели межотраслевых связей.

Функциональные модели широко применяются в сфере экономического регулирования. Типичными в данном случае являются модели поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений.

Отличия между моделями

Проанализируем разные модели. Классификация моделей, используемых в настоящее время в экономике, предполагает выделение нормативных и дескриптивных вариантов. Используя дескриптивные модели можно объяснить анализируемые факты, прогнозировать возможность существования определенных фактов.

Цель дескриптивного похода

Она предполагает эмпирическое выявление разных зависимостей в современной экономике. Например, устанавливаются статистические закономерности различных социальных групп, изучаются вероятные пути развития определенных процессов при постоянных условиях либо без внешних воздействий. На основе результатов, полученных в ходе социологического опроса, можно выстроить модель покупательского спроса.

Нормативные модели

С их помощью можно предположить целенаправленную деятельность. В качестве примера можно представить модель оптимального планирования.

Может быть и нормативной, и дескриптивной. Если модель применяется при проведении анализа пропорций ушедшего периода, она дескриптивна. При расчете с ее помощью оптимальных путей развития экономики она является нормативной.

Признаки моделей

Классификация моделей предполагает учет отдельных функций, которые помогают уточнять спорные моменты. Максимальное распространение дескриптивный подход нашел в имитационном моделировании.

В зависимости от характера обнаружения причинно-следственных связей существует классификация моделей на варианты, включающие отдельные элементы неопределенности и случайности, а также жестко детерминистские модели. Важно отличать неопределенность, которая базируется на теории вероятности, и неопределенность, выходящую за границы действия закона.

Деление моделей по способам отражения временного фактора

Предполагается классификация моделей по данному фактору на динамические и статические виды. Статические модели предполагают рассмотрение всех закономерностей в определенный промежуток времени. Динамические варианты характеризуются изменениями во времени. В зависимости от продолжительности применения допускается классификация моделей на следующие варианты:

• краткосрочные, длительность которых не превышает года;
• среднесрочные, рассчитанные на срок от года до пяти лет;
• долгосрочные, рассчитанные на срок более пяти лет.

В зависимости от специфики проекта, допускается внесение изменений в процессе использования модели.

По форме математических зависимостей

Основанием классификации моделей является форма математических зависимостей, выбранная для работы. В основном пользуются для проведения вычислений и анализа классом линейных моделей. Рассмотрим экономические виды моделей. Классификация моделей такого вида помогает изучать изменение потребления и спроса населения в случае роста их материальных доходов. Кроме того, с помощью анализируется изменения потребности населения в случае увеличения производства, оценивается эффективность применения ресурсов в конкретной ситуации.

В зависимости от соотношения эндогенных и экзогенных переменных, которые включаются в модель, применяется классификация моделей данных видов на закрытые и открытые системы.

Любая модель должна включать минимум одну эндогенную переменную, в связи с чем полностью открытые системы найти весьма проблематично. Модели, которые не включают экзогенных переменных (закрытые варианты) также практически не распространены. Для того чтобы создать подобный вариант, придется в полной мере абстрагироваться от среды, допустить серьезные огрубления реальной экономической системы, имеющей внешние связи.

По мере увеличения достижений математических и экономических исследований классификация моделей, систем, существенно усложняется. В настоящее время используются смешанные типы, а также сложные модельные конструкции. Единая классификация информационных моделей на данный момент не установлена. При этом можно отметить около десяти параметров, по которым происходит выстраивание типов моделей.

Типы моделей

Монографическая или словесная модель предполагает описание процесса или явления. Часто речь идет о правилах, законе, теореме либо совокупности нескольких параметров.

Графическая модель оформляется в виде чертежа, географической карты, рисунка. К примеру, взаимосвязь между потребительским спросом и стоимостью продукции можно представить с помощью координатных осей. График наглядно демонстрирует зависимость между двумя величинами.

Вещественные либо физические модели создают для объектов, которые пока в реальности не существуют.

Степень агрегирования объектов

Существует классификация информационных моделей по данному признаку на:

• локальные, с помощью которых осуществляется анализ и прогноз определенных показателей развития отрасли;
• на микроэкономические, предназначенные для серьезного анализа структуры производства;
• макроэкономические, базирующиеся на изучении хозяйства.

Есть и отдельная классификация моделей управления для макроэкономических видов. Они подразделяются на одно-, двух-, многосекторные варианты.

В зависимости от цели создания и использования различают следующие варианты:

• детерминированные, имеющие однозначно понятные результаты;
• стохастические, которые предполагают вероятностные итоги.

В современной экономике выделяют балансовые модели, в которых отражается требование соответствия базы ресурсов и их применения. Для их записи используют форму квадратных шахматных матриц.

Есть и эконометрические виды, для оценивания которых применяются методы математической статистики. На подобных моделях выражают развитие главных показателей создаваемой экономической системы посредством длительной тенденции (тренда). Они востребованы в анализе и прогнозировании определенных экономических ситуаций, связанных с реальной статистической информацией.

Оптимизационные модели дают возможность из множества альтернативных (возможных) вариантов выбрать оптимальный вариант производства, потребления либо распределения ресурсов. Применение ограниченных ресурсов в такой ситуации будет самым эффективным средством для получения поставленной цели.

Предполагают участие в проекте не только эксперта, но и специализированного программного обеспечения, ЭВМ. Создаваемая в итоге экспертная база данных предназначается для решения путем имитации деятельности человека одной или нескольких задач.

Сетевые модели представляют собой комплекс операций и событий, взаимосвязанных во времени. Чаще всего такая модель предназначается для осуществления работ в такой последовательности, чтобы добиться минимальных сроков выполнения проекта.

В зависимости от выбранного типа математического аппарата выделяют модели:

• матричные;
• корреляционно-регрессивные;
• сетевые;
• управления запасами;
• массового обслуживания.

Этапы экономико-математического моделирования

Данный процесс является целенаправленным, он подчиняется определенной логической программе действий. Среди основных этапов создания такой модели выделяют:

• постановку экономической проблемы и проведение ее качественного анализа;
• разработку математической модели;
• подготовку исходной информации;
• численное решение;
• проведение анализа полученных результатов, их использование.

При постановке экономической проблемы, необходимо четко сформулировать суть проблемы, отметить важные черты и параметры моделируемого объекта, проанализировать взаимосвязь отдельных элементов, чтобы объяснить развитие и поведение рассматриваемого объекта.

При разработке математической модели выявляется зависимость между уравнениями, неравенствами, функциями. Прежде всего определяют тип модели, анализируют возможность применения ее в конкретной задаче, формируется конкретный перечень параметров и переменных. При рассмотрении сложных объектов выстраивают разноаспектные модели, чтобы каждая характеризовала отдельные стороны объекта.

Заключение

В настоящее время не существует отдельное понятие модели. Классификация моделей является условной, но это не снижает их актуальности.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

АННОТАЦИЯ

В данной курсовой работе будут рассмотрены виды математических моделей, их классификация, основные типы математических моделей, их схемы. Будут приведены примеры построения математических моделей на нескольких примерах. Эта работа поможет студентам разобраться во всем многообразии видов и типов математических моделей, понять по какому принципу можно классифицировать математические модели, от чего зависит выбор той или иной математической модели. Здесь мы узнаем какие бывают схемы математических моделей и каковы их особенности.

ABSTRACT

In given term paper will are considered types of the mathematical models, their categorization. The Main types of the mathematical models, their schemes. Will cite an instance buildings of the mathematical models on several examples.

Введение

1. Моделирование

1.1 Цели и задачи моделирования

1.2 Требования к модели

2. Классификация моделей

3. Математическое моделирование

3.1 Непрерывно детерминированные модели (Д - схемы)

3.2 Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

3.3 Методы теории массового обслуживания

4. Выбор математической модели

4.1 Сопоставление методов построения математических моделей

4.2 Достоверность и простота модели

4.3 Проверка адекватности и идентификация модели

4.4 Выбор математической модели

5. Примеры составления математических моделей

Заключение

Список источников информации

ВВЕДЕНИЕ

На современном этапе экономического и социального развития республики предъявляются высокие требования к уровню экономической работы на всех уровнях. Сегодня особенно необходимы качественные сдвиги в экономике, существенное повышение эффективности работы всех звеньев хозяйственной системы: предприятий, объединений, отраслей. Особую важность, в условиях расширяющихся прав предприятий, в области производственно-хозяйственной деятельности, их самостоятельности в принятии управленческих решений, приобретает глубокое знание специалистами новейших достижений экономической науки, методов математического моделирования и прогнозирования экономических процессов на основе информационных технологий оптимальных решений. Эти обстоятельства выдвигают повышенные требования к качеству подготовки специалистов, которые должны владеть новейшими достижениями наук и уметь, используя их богатый арсенал методов, находить самые эффективные управленческие решения, а, это, в свою очередь, определяет роль и место математических методов оптимизации в учебном процессе. моделирование обслуживание детерминированный

Методы математического моделирования, являясь мощным инструментом исследований экономических процессов, играет весьма важную роль в анализе и синтезе экономического развития, определение обеспечивает многоуровневую оптимизацию, схватывающую взаимосвязи отраслей, регионов и предприятий.

В науке, технике и экономике используются модели, которые общепринятым, формальным способом описывают характерные особенности систем и позволяют осуществлять достаточно надежное прогнозирование их поведение. Простейшими моделями могут выступать таблицы или графики, связывающие величины воздействия на систему с величинами, отражающими ее реакцию на эти воздействия. Более высокий уровень моделей - уравнения, отражающие подобную связь (алгебраические, дифференциальные, интегральные и пр.). свойства сложной системы отражают совокупностью различных уравнений. Такие модели называют математическими и описывают классы систем. Независимо от способа создания математической модели, она всегда приближенно отражает исследуемую систему. Это связано с неполнотой наших знаний о природе протекающих в системе процессов, с невозможностью учесть все процессы и их особенности (чрезмерно громоздкая математическая модель), с неточным представлением данных о системе и ее элементах. Имея математическую модель системы, можно проводить прогнозирование ее поведения в различных ситуациях (проводить математическое моделирование системы).

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ

Моделировaние - это изучение объектa путем построения и исследования его модели, осуществляемое с определенной целью и состоит в зaмене экспериментa с оригиналом экспериментом на модели. Модель должна строится так, чтобы она наиболее полно воспроизводила те кaчествa oбъектa, которые необходимо изучить в соответствии с поставленной целью. Во всех отношениях модель должна быть проще объекта и удобнее его для изучения. Таким образом, для одного и того же объекта могут существовать различные модели, классы моделей, соответствующие различным целям его изучения. Необходимым условием моделирования является подобие объекта и его модели. Т.е. моделирование - это замещение одного объекта (оригинала) другим (моделью) и фиксация и изучение свойств модели. Замещение производится с целью упрощения , удешевления, ускорения изучения свойств оригинала.

В общем случае объектом-оригиналом может быть естественная или искусственная, реальная или воображаемая система. Она имеет множество параметров и характеризуется определёнными свойствами. Количественной мерой свойств системы служит множество характеристик, система проявляет свои свойства под влиянием внешних воздействий. От специaлистa, зaнимaющегося построением моделей, требуются следующие основные кaчествa:

o четкое представление о сущности физико-химических явлений, протекающих в объекте;

o умение мaтемaтически описывать протекающие процессы и применять методы моделирования;

o быть в состоянии обеспечить получение на модели содержательных результатов.

1.1 Цели и задачи моделирования

Основные цели и задачи моделирования сводятся к следующему:

1. Оптимальное проектирование новых и интенсификация действующих технологических процессов.

2. Контроль за ходом процесса, получение необходимой информации о нем и обрaботкa полученной информации с целью управления ходом технологического процесса.

3. Решение зaдaч исследования объектов, где невозможно проводить активные эксперименты - режимы работы реакторов, траектории космических объектов и т.д.

4. Мaксимaльное ускорение переносa результaтов лaборaторных исследовaний в промышленные мaсштaбы.

1.2 Требования к модели

1. Зaтрaты нa создaние модели должны быть знaчительно меньше зaтрaт нa создaние оригинaлa.

2. Должны быть четко определены прaвилa интерпретaции результaтов вычислительного экспериментa.

3. Основное требовaние - модель должнa быть существенной. Это требовaние зaключaется в том, что модель должнa отрaжaть необходимые, существенные для решения конкретной зaдaчи свойствa объектa. Для одного и того же объектa сложно создaть обобщенную модель, отрaжaющую все его свойствa. Поэтому вaжно обеспечить существенность модели.

Моделирование целесообразно, когда у модели отсутствуют те признаки оригинала, которые препятствуют его исследованию.

Теория моделирования -- взаимосвязанная совокупность положений, определений, методов и средств создания моделей. Сами модели являются предметом теории моделирования.

Теория моделирования является основной составляющей общей теории систем - системологии, где в качестве главного принципа постулируются осуществимые модели: система представима конечным множеством моделей, каждая из которых отражает определённую грань её сущности.

2 . КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ

Клaссификaцию моделей можно проводить по разным типам признаков:

- по способу познания: научно-технические, художественные, житейские;

- по природе моделей: предметные (физические / мaтериaльные), знаковые (мысленные).

Рис.1 Классификация моделей по природе

- по отношению ко времени различают статические и динамические модели;

- по характеру зависимости выходных параметров от входных модели делятся на детерминированные и стохастические.

Мaтериaльные модели - уменьшенное (увеличенное) отражение оригинaлa с сохранением физической сущности (реaктор - пробиркa). Мысленная модель - отображение оригинaлa , отрaжaющaя существенные черты и возникaющaя в сознaнии человекa в процессе познaния. Обрaзные модели носят описaтельный хaрaктер. Знaковые модели - являются мaтемaтическими описaниями процессов, явлений, объектов и обычно нaзывaются мaтемaтическими моделями. Знaковые модели могут тaкже включaть в себя схемы и чертежи.

В иды моделей по отношению ко времени и по характеру выходных параметров

Рис.2.

Физические модели. В основу классификации положена степень абстрагирования модели от оригинала. Предварительно все модели можно подразделить на 2 группы -- физические и абстрактные (математические).

Физической моделью обычно называют систему, эквивалентную или подобную оригиналу, но возможно имеющую другую физическую природу. Виды физических моделей:

натуральные;

квазинатуральные;

масштабные;

аналоговые.

Натуральные модели -- это реальные исследуемые системы (макеты, опытные образцы). Имеют полную адекватность (соответствия) с системой оригиналом, но дороги.

Квазинатуральные модели -- совокупность натуральных и математических моделей. Этот вид используется тогда, когда модель части системы не может быть математической из-за сложности её описания (модель человека оператора) или когда часть системы должна быть исследована во взаимодействии с другими частями, но их ещё не существует или их включение очень дорого (вычислительные полигоны, автоматизированные системы управления).

Масштабная модель -- это система той же физической природы, что и оригинал, но отличается от него масштабами. Методологической основой масштабного моделирования является теория подобия. При проектировании вычислительных систем масштабные модели могут использоваться для анализа вариантов компоновочных решений.

Аналоговыми моделями называют системы, имеющие физическую природу, отличающуюся от оригинала, но сходные с оригиналом процессы функционирования. Для создания аналоговой модели требуется наличие математического описания изучаемой системы. В качестве аналоговых моделей используются механические, гидравлические, пневматические и электрические системы. Аналоговое моделирование использует при исследовании средства вычислительной техники на уровне логических элементов и электрических цепей, а так же на системном уровне, когда функционирование системы описывается например, дифференциальными или алгебраическими уравнениями.

Математические модели представляют собой формализованное представление системы с помощью абстрактного языка, с помощью математических соотношений, отражающих процесс функционирования системы. Для составления математических моделей можно использовать любые математические средства -- алгебраическое, дифференциальное, интегральное исчисления, теорию множеств, теорию алгоритмов и т.д. По существу вся математика создана для составления и исследования моделей объектов и процессов.

К средствам абстрактного описания систем относятся также языки химических формул, схем, чертежей, карт, диаграмм и т.п. Выбор вида модели определяется особенностями изучаемой системы и целями моделирования, т.к. исследование модели позволяет получить ответы на определённую группу вопросов. Для получения другой информации может потребоваться модель другого вида. Математическое модели можно классифицировать на детерминированные и вероятностные, аналитические, численные и имитационные.

Аналитической моделью называется такое формализованное описание системы, которое позволяет получить решение уравнения в явном виде, используя известный математический аппарат.

Численная модель характеризуется зависимостью (1.2) такого вида, который допускает только частные решения для конкретных начальных условий и количественных параметров моделей.

Имитационная модель -- это совокупность описания системы и внешних воздействий, алгоритмов функционирования системы или правил изменения состояния системы под влиянием внешних и внутренних возмущений. Эти алгоритмы и правила не дают возможности использования имеющихся математических методов аналитического и численного решения, но позволяют имитировать процесс функционирования системы и производить вычисления интересующих характеристик. Имитационные модели могут быть созданы для гораздо более широкого класса объектов и процессов, чем аналитические и численные. Поскольку для реализации имитационных моделей служат ВС, средствами формализованного описания ИМ служат универсальные и специальные алгоритмические языки. ИМ в наибольшей степени подходят для исследования ВС на системном уровне.

3 . МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Это вaжнейший метод современного нaучного исследовaния, основной aппaрaт системного aнaлизa. Мaтемaтическое моделировaние - это изучение поведения объектa в тех или иных условиях путем решения урaвнений его мaтемaтичекой модели. В химической технологии мaтемaтическое моделировaние применяют прaктически нa всех уровнях исследовaния, рaзрaботки и внедрения. Дaнный метод бaзируется нa мaтемaтическом подобии. У мaтемaтически подобных объектов процессы облaдaют рaзличной физической природой, но описывaются идентичными урaвнениями.

Нa первых порaх своего рaзвития мaтемaтическое моделировaние нaзывaлось aнaлоговым. Более того, использовaние методa aнaлогии привело к появлению aнaлоговых вычислительных мaшин - AВМ. Это электронные устройствa, состоящие из интегрaторов, дифференцирующих устройств, суммaторов и усилителей. Нa AВМ моделируются физические явления, которые aнaлогичны эффектaм электрической природы. По срaвнению с физическим мaтемaтическое моделировaние - более универсaльный метод.

Математическое моделирование:

- позволяет осуществить с помощью одного устройствa (ЭВМ) решение целого клaссa зaдaч, имеющих одинaковое мaтемaтическое описaние;

- обеспечивaет простоту переходa от одной зaдaчи к другой, позволяет вводить переменные пaрaметры, возмущения и рaзличные нaчaльные условия;

- дaет возможность проводить моделировaние по чaстям ("элементaрным процессaм"), что особенно существенно при исследовaнии сложных объектов химической технологии;

- экономичнее методa физического моделировaния кaк по зaтрaтaм, тaк и по стоимости.

Исходной информацией при построении математической модели процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S. Эта информация определяет основную цель моделирования, требования к математической модели, уровень абстрагирования, выбор математической схемы моделирования.

Понятие математическая схема позволяет рассматривать математику не как метод расчёта, а как метод мышления, средства формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания к формализованному представлению процесса её функционирования в виде некоторой математической модели.

При пользовании математической схемой в первую очередь исследователя системы должен интересовать вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкретный вопрос исследования.

Математическую схему можно определить как звено при переходе от содержательного к формализованному описанию процесса функционирования системы с учётом воздействия внешней среды. Т.е. имеет место цепочка: описательная модель -- математическая схема -- имитационная модель.

В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайный факт не учитывается, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные и др. уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени -- конечные автоматы и конечно разностные схемы.

В начале стохастических моделей (при учёте случайного фактора) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления систем с непрерывным временем -- системы массового обслуживания (СМО). Большое практическое значение при исследовании сложных индивидуальных управленческих систем, к которым относятся автоматизированные системы управления, имеют так называемые агрегативные модели.

Aгрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характера этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивая взаимодействие частей.

3 .1 Непрерывно детерминированные м о дели (Д - схемы)

Рассмотрим особенности непрерывно детерминированного подхода на примере, используя в качестве математической модели дифференциальные уравнения.

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной переменной или нескольких переменных, причём в уравнение входят не только их функции но их производные различных порядков.

Если неизвестные - функции многих переменных, то уравнения называются -- уравнения в частных производных. Если неизвестные функции одной независимой переменной, то имеют место обыкновенные дифференциальные уравнения.

Математическое соотношение для детерминированных систем в общем виде:

Например, процесс малых колебаний маятника описан обыкновенными дифференциальным уравнением где m 1 , l 1 - масса, длина подвески маятника, - угол отклонения маятника от положения равновесия. Из этого уравнения можно найти оценки интересующих характеристик, например период колебаний

Дифференциальные уравнения, Д - схемы являются математическим аппаратом теории систем автоматического регулирования, управления.

При проектировании и эксплуатации систем автоматического регулирования (САУ) необходимо выбрать такие параметры системы, которые бы обеспечивали требуемую точность управления.

Следует отметить, что часто используемые в САУ системы дифференциальных уравнений определяются путём линеаризацией управления объекта (системы), более сложного вида, имеющего нелинейности:

3 .2 Дискретно - детерминированные модели ( F -схемы)

Дискретно - детерминированные модели (ДДМ) являются предметом рассмотрения теории автоматов (ТА). ТА - раздел теоретической кибернетики, изучающей устройства, перерабатывающие дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени.

Конечный автомат имеет множество внутренних состояний и входных сигналов, являющихся конечными множествами. Автомат задаётся F- схемой:

F=,

где z,x,y - соответственно конечные множества входных, выходных сигналов (алфавитов) и конечное множество внутренних состояний (алфавита). z 0 Z - начальное состояние; (z,x) - функция переходов; (z,x) - функция выхода. Автомат функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты, т.е. примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного, выходного сигнала и внутреннего состояния. Абстрактный автомат имеет один входной и один выходной каналы.

В момент t, будучи в состоянии z(t), автомат способен воспринять сигнал x(t) и выдать сигнал y(t)=, переходя в состояние z(t+1)=, z(t)Z; y(t)Y; x(t)X. Абстрактный КА в начальном состоянии z 0 принимая сигналы x(0), x(1), x(2) … выдаёт сигналы y(0), y(1), y(2)… (выходное слово).

Существуют F- автомат 1-ого рода (Миля), функционирующий по схеме:

z(t+1)= , t=0,1,2…(1)

y(t)=, t=0,1,2…(2)

автомат 2-ого рода:

z(t+1)= , t=0,1,2…(3)

y(t)=, t=1,2,3…(4)

Автомат 2-ого рода, для которого y(t)=, t=0,1,2,…(5)

т.е. функция выходов не зависит от входной переменной x(t), называется автоматом Мура.

Т.о. уравнения 1-5 полностью задающие F- автомат, являются частным случаем уравнения

(6)

где - вектор состояния, - вектор независимых входных переменных, - вектор воздействий внешней среды, - вектор собственных внутренних параметров системы, - вектор начального состояния, t - время; и уравнение,(7)

когда система S - деноминированная и на её вход поступает дискретный сигнал x.

По числу состояний конечные автоматы бывают с памятью и без памяти. Автоматы с памятью имеют более одного состояния, а автоматы без памяти (комбинационные или логические схемы) обладают лишь одним состоянием. При этом согласно (2), работа комбинационной схемы заключается в том, что она ставит в соответствие каждому входному сигналу x(t) определённый выходной сигнал y(t), т.е. реализует логическую функцию вида:

y(t)=, t=0,1,2,…

Эта функция называется булевой, если алфавиты X и Y, которым принадлежат значения сигналов x и y состоят из 2-х букв.

По характеру отсчёта времени (дискретному) F- автоматы делятся на синхронные и асинхронные. В синхронных автоматах моменты времени, в которые автомат "считывает" входные сигналы, определяются принудительно синхронизирующими сигналами. Реакция автомата на каждое значение входного сигнала заканчивается за один такт синхронизации. Асинхронный F- автомат считывает входной сигнал непрерывно и поэтому, реагируя на достаточно длинный водной сигнал постоянной величины x, он может, как это следует из 1-5, несколько раз изменить своё состояние, выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдёт в устойчивое.

Для задания F- автомата необходимо описать все элементы множества F=, т.е. входной, внутренний и выходной алфавиты, а также функции переходов и выходов. Для задания работы F- автоматов наиболее часто используются табличный, графический и матричный способ.

В табличном способе задания используется таблицы переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы - его состояниям. При этом обычно 1-ый столбец слева соответствует начальному состоянию z 0 . На пересечении i-ой строки и j-ого столбца таблицы переходов помещается соответствующее значение (z k ,x i) функции переходов, а в таблице выходов - (z k , x i) функции выходов. Для F- автомата Мура обе таблицы можно совместить, получив т.н. отмеченную таблицу переходов, в которой над каждым состоянием z k автомата, обозначающим столбец таблицы, стоит соответствующий этому состоянию, согласно (5), выходной сигнал (z i).

Описание работы F- автомата Мили таблицами переходов и выходов иллюстрируется таблицей 3.1., а описание F- автомата Мура - таблицей переходов 3.2..

Таблица 3.1. Описание работы автомата Мили

Таблица 3.2. Описание работы автомата Мура

Примеры табличного способа задания F- автомата Мили F1 с тремя состояниями, двумя входными и двумя выходными сигналами приведены в таблице 3.3, а для F- автомата Мура F2 - в таблице 3.4.

Таблица 3.3. Способ задания автомата Мили с тремя состояниями

Таблица 3.4. Способ задания автомата Мура с тремя состояниями

При другом способе задания конечного автомата используется понятие направленного графа. Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершин дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Если входной сигнал x k вызывает переход из состояния z i в состояние z j , то на графе автомата дуга, соединяющая вершину z i с вершиной z j обозначается x k . Для того, чтобы задать функцию переходов, дуги графа необходимо отметить соответствующими выходными сигналами. Для автоматов Мили эта разметка производиться так: если входной сигнал x k действует на состояние z i , то согласно сказанному получается дуга, исходящая из z i и помеченная x k ; эту дугу дополнительно отмечают выходным сигналом y=(z i , x k). Для автомата Мура аналогичная разметка графа такова: если входной сигнал x k , действуя на некоторое состояние автомата, вызывает переход в состояние z j , то дугу, направленную в z j и помеченную x k , дополнительно отмечают выходным сигналом y=(z j , x k). На рис. 3 приведены заданные ранее таблицами F- автоматы Мили F1 и Мура F2 соответственно.

Рис. 3 . Графы автоматов Мили (а) и Мура (б)

При решении задач моделирования часто более удобной формой является матричное задание конечного автомата. При этом матрица соединений автомата есть квадратная матрица С=|| c ij ||, строки которой соответствуют исходным состояниям, а столбцы - состояниям перехода. Элемент c ij =x k /y S в случае автомата Мили соответствует входному сигналу x k , вызывающему переход из состояния z i в состояние z j и выходному сигналу y S , выдаваемому при этом переходе. Для автомата Мили F1, рассмотренного выше, матрица соединений имеет вид:

Если переход из состояния z i в состояние z j происходит под действием нескольких сигналов, элемент матрицы c ij представляет собой множество пар "вход/выход" для этого перехода, соединённых знаком дизъюнкции.

Для F- автомата Мура элемент c ij равен множеству входных сигналов на переходе (z i z j), а выход описывается вектором выходов:

i-ая компонента которого выходной сигнал, отмечающий состояние z i

Пример. Для рассмотренного ранее автомата Мура F2 запишем матрицу состояний и вектор выходов:

;

Для детерминированных автоматов переходы однозначны. Применительно к графическому способу задания F- автомата это означает, что в графе F- автомата из любой вершины не могут выходить 2 и более ребра, отмеченные одним и тем же входным сигналом. Аналогично этому в матрице соединений автомата С в каждой строке любой входной сигнал не должен встречаться более одного раза.

Рассмотрим вид таблицы переходов и графа асинхронного конечного автомата. Для F- автомата состояние z k называется устойчивым, если для любого входа x i X, для которого (z k ,x i)=z k имеет место (z k x i)=y k . Т.о. F- автомат называется асинхронным, если каждое его состояние z k Z устойчиво.

На практике всегда автоматы являются асинхронными, а устойчивость их состояний обеспечивается тем или иным способом, например, введением сигналов синхронизации. На уровне абстрактной теории удобно часто оперировать с синхронными конечными автоматами.

Пример. Рассмотрим асинхронный F- автомат Мура, который описан в табл. 3.5 и приведён на рис. 4.

Таблица 3.5. Асинхронный автомат Мура

Рис. 4 . Граф асинхронного автомата Мура

Если в таблице переходов асинхронного автомата некоторое состояние z k стоит на пересечении строки x S и столбца z S (Sk), то это состояние z k обязательно должно встретиться в этой же строке в столбце z k .

С помощью F-схем описываются узлы и элементы электронных вычислительных систем, устройства контроля, регулирования и управления, системы временной и пространственной коммутации в технике обмена информацией. Широта применения F-схем не означает их универсальность. Этот подход непригоден для описания процессов принятия решений, процессов в динамических системах с наличием переходных процессов и стохастических элементов.

3.3 Непрерывно-стохастические модели (Q - схемы)

К ним относятся системы массового обслуживания (англ. queuing system), которые называют Q- схемами.

Предмет теории массового обслуживания -- системы массового обслуживания (СМО) и сети массового обслуживания. Под СМО понимают динамическую систему, предназначенную для эффективного обслуживания случайного потока заявок при ограниченных ресурсах системы. Обобщённая структура СМО приведена на рисунке 5.

Рис. 5 . Схема СМО

Поступающие на вход СМО однородные заявки в зависимости от порождающей причины делятся на типы, интенсивность потока заявок типа i (i=1…M) обозначено i . Совокупность заявок всех типов - входящий поток СМО.

Обслуживание заявок выполняется m каналами. Различают универсальные и специализированные каналы обслуживания. Для универсального канала типа j считается известными функции распределения F ji () длительности обслуживания заявок произвольного типа. Для специализированных каналов функции распределения длительности обслуживания каналов заявок некоторых типов являются неопределёнными, назначение этих заявок на данный канал.

В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например, потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации электронных вычислительных систем от удалённых терминалов и т.д. При этом характерным для работы таких объектов является случайное поведение заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени.

Q - схемы можно исследовать аналитически и имитационными моделями. Последнее обеспечивает большую универсальность.

Рассмотрим понятие массового обслуживания.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки. Это можно отобразить в виде некоторого i-ого прибора обслуживания П i , состоящего из накопителя заявок, в котором может находится одновременно l i =0…L i H заявок, где L i H - ёмкость i-ого накопителя, и канала обслуживания заявок, k i .

Рис. 6 . Схема прибора СМО

На каждый элемент прибора обслуживания П i поступают потоки событий: в накопитель H i поток заявок w i , на канал k i - поток обслуживания u i .

Потоком событий (ПС) называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднородных событий. Однородный ПС (ОПС) характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задаётся последовательностью {t n }={0t 1 t 2 …t n …}, где t n - момент поступления n- ого события - неотрицательное вещественное число. ОПС может быть также задан в виде последовательности промежутков времени между n-ым и n-1-ым событиями { n }.

Неоднородным ПС называется последовательность {t n , f n } , где t n - вызывающие моменты; f n - набор признаков события. Например, может быть задана принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т.п.

Рассмотрим ОПС, для которого i { n }- случайные величины, независимые между собой. Тогда ПС называется потоком с ограниченным последействием.

ПС называется ординарным, если вероятность того, что на малый интервал времени t, примыкающий к моменту времени t попадает больше одного события Р 1 (t, t) пренебрежительно мала.

Если для любого интервала t событие P 0 (t, t) + P 1 (t, t) + Р 1 (t, t)=1, P 1 (t, t) - вероятность попадания на интервал t ровно одного события. Как сумма вероятностей событий, образующих полную группу и несовместных, то для ординарного потока событий P 0 (t, t) + P 1 (t, t) 1, Р 1 (t, t)=(t), где (t)- величина, порядок малости который выше, чем t, т.е. lim((t))=0 при t0.

Стационарным ПС называется поток, для которого вероятность появления того или иного числа событий на интервале времени зависит от длины этого участка и не зависит от того, где на оси времени 0 - t взят этот участок. Для ОПС справедливо 0*P 0 (t, t) + 1*P 1 (t, t)= P 1 (t, t) - среднее число событий на интервале t. Среднее число событий, наступающих на участке t в единицу времени составляет P 1 (t, t)/t. Рассмотрим предел этого выражения при t0

lim P 1 (t, t)/t=(t)*(1/един.вр.).

Если этот предел существует, то он называется интенсивностью (плотностью) ОПС. Для стандартного ПС (t)==const.

Применительно к элементарному каналу обслуживания k i можно считать что поток заявок w i W, т.е. интервалы времени между моментами появления заявок на входе k i образуют подмножество неуправляемых переменных, а поток обслуживания u i U, т.е. интервалы времени между началом и окончанием обслуживания заявки образуют подмножество управляемых переменных.

Заявки, обслуженные каналом k i и заявки, покинувшие прибор П i по различным причинам не обслуженными, образуют выходной поток y i Y.

Процесс функционирования прибора обслуживания П i можно представить как процесс изменения состояний его элементов во времени Z i (t). Переход в новое состояние для П i означает изменение кол-ва заявок, которые в нём находятся (в канале k i и накопителе H i). Т.о. вектор состояний для П i имеет вид: , где - состояния накопителя, (=0 - накопитель пуст, =1- в накопителе одна заявка…, =- накопитель занят полностью; - состояние канала k i (=0 - канал свободен, =1 канал занят).

Q-схемы реальных объектов образуются композицией многих элементарных приборов обслуживания П i . Если k i различных приборов обслуживания соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание (многоканальная Q-схема), а если приборы П i и их параллельные композиции соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание (многофазная Q-схема).

Т.о. для задания Q-схемы необходимо оператор сопряжения R, отражающий взаимосвязь элементов структуры.

Связи в Q-схеме изображают в виде стрелок (линий потока, отражающих направление движения заявок). Различают разомкнутые и замкнутые Q-схемы. В разомкнутой выходной поток не может снова поступить на какой-либо элемент, т.е. обратная связь отсутствует.

Собственными (внутренними) параметрами Q-схемы будут являться кол-во фаз L Ф, количество каналов в каждой фазе, L kj , j=1… L Ф, количество накопителей каждой фазы L kj , k=1… L Ф, ёмкость i-ого накопителя L i H . Следует отметить, что в теории массового обслуживания в зависимости от ёмкости накопителя применяют следующую терминологию:

системы с потерями (L i H =0, накопитель отсутствует);

системы с ожиданием (L i H);

системы с ограниченной ёмкостью накопителя Н i (смешанные).

Обозначим всю совокупность собственных параметров Q-схемы как подмножество Н.

Для задания Q-схемы также необходимо описать алгоритмы её функционирования, которые определяют правила поведения заявок в различных неоднозначных ситуациях.

В зависимости от места возникновения таких ситуаций различают алгоритмы (дисциплины) ожидания заявок в накопителе Н i и обслуживания заявок каналом k i . Неоднородность потока заявок учитывается с помощью введения класса приоритетов.

В зависимости от динамики приоритетов Q-схемы различают статические и динамические. Статические приоритеты назначаются заранее и не зависят от состояний Q-схемы, т.е. они являются фиксированными в пределах решения конкретной задачи моделирования. Динамические приоритеты возникают при моделировании. Исходя из правил выбора заявок из накопитель Н i на обслуживание каналом k i можно выделить относительные и абсолютные приоритеты. Относительный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель Н, ожидает окончания обслуживания представляющей заявки каналом k i и только после этого занимает канал. Абсолютный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель, прерывает обслуживание каналом k i заявки с более низким приоритетом и сами занимает канал (при этом вытесненная из k i заявка может либо покинуть систему, либо может быть снова записана на какое-то место в Н i).

Необходимо также знать набор правил, по которым заявки покидают Н i и k i: для Н i - либо правила переполнения, либо правила ухода, связанные с истечением времени ожидания заявки в Н i ; для k i - правила выбора маршрутов или направлений ухода. Кроме того, для заявок необходимо задать правила, по которым они остаются в канале k i , т.е. правила блокировок канала. При этом различают блокировки k i по выходу и по входу. Такие блокировки отражают наличие управляющих связей в Q_схеме, регулирующих поток заявок в зависимости от состояний Q_схемы. Набор возможных алгоритмов поведения заявок в Q_схеме можно представить в виде некоторого оператора алгоритмов поведения заявок А.

Т.о. Q_схема, описывающая процесс функционирования СМО любой сложности однозначно задаётся в виде набора множеств: Q = .

4 . ВЫБОР МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

4 .1 Сопоставление методов по строения мaтемaтических моделей

Выбор метода зависит от важности и степени сложности процесса. Для крупных многотоннажных производств необходимы хорошие модели, здесь применяют теоретический метод. Этим же методом пользуются при создании принципиально новых технологических процессов.

Для мелких производств со сложным хaрaктером процесса используют экспериментальный метод. На практике, как правило, используется разумное сочетание всех методов.

4 .2 Достоверность и простота модели

Построенная одним из рассмотренных выше методов мaтемaтическaя модель одновременно должна удовлетворять требованиям достоверности и простоты.

Достоверная модель, правильно описывающaя поведение объекта, может окaзaться весьма сложной. Сложность модели определяется, как правило, сложностью исследуемого объекта и степенью точности, предъявляемой практикой к результатам расчета. Необходимо, чтобы эта сложность не превосходила некоторого предела, определяемого возможностями существующего мaтемaтического аппарата. Следовательно, модель должна быть достаточно простой в математическом отношении, чтобы ее можно было решить имеющимися методами и средствами.

4 . 3 Проверка а дек в а тности и идентификация модели

Проверка адекватности - это оценка достоверности построенной математической модели, исследование ее соответствия изучаемому объекту.

Проверка aдеквaтности осуществляется на тестовых экспериментах путем сравнения результатов рaсчетa по модели с результaтaм эксперимента на изучаемом объекте при одинаковых условиях. Это позволяет установить границы применимости построенной модели.

Основным этапом в построении адекватной модели является идентификация мaтемaтического описания мaтемaтического описания объекта. Задачей идентификации является определение вида модели и нахождения неизвестных ее параметров - отдельных констант или их комплексов, характеризующих свойства объекта. Идентификация возможна при наличии необходимой экспериментальной информации об изучаемом объекте.

4.4 Выбор математической модели

Зaдaчa выбора модели возникает при наличии для одного и того же объекта клaссa моделей. Выбор модели является одним из важнейших этапов моделирования. В конечном счете, преимущество той или иной модели определяет критерий практики, понимаемый в широком смысле. При выборе модели следует исходить из разумного компромисс между сложностью модели, полнотой получаемых с ее помощью характеристик объекта и точностью этих характеристик. Так, если модель недостаточно точна, то ее нужно дополнить, уточнить введением новых факторов, может также оказаться, что предложенная модель слишком сложна и те же результаты можно получить с помощью более простой модели.

Иногда из-за ограниченности имеющихся средств приходится упрощать мaтемaтическое описание. В этом случае необходима оценка вносимой при этом погрешности.

При решении уравнений математического описания с использованием электронных вычислительных систем необходимо создание моделирующего aлгоритмa ("машинной" модели). Моделирующий алгоритм является преобрaзовaнным мaтемaтическим описанием и представляет собой последовательность арифметических и логических операций решения, записанную в виде программы.

При разработке такого aлгоритмa, прежде всего, необходимо выбрать метод решения уравнений мaтемaтического описания - аналитический или численный. Следует помнить о необходимости проверки точности выбранного метода расчета.

5. ПРИМЕРЫ СОСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

В этом разделе рассмотрим типичные примеры составления математических моделей для решения самых различных задач, как народного хозяйства, так и школьных задач по математике.

ПРИМЕР 1

Построить математическую модель формирования плана производства.

Таблица 5.1. Исходные данные

Определить объем производства продукции, обеспечивающий получение максимальной прибыли.

Построение математической модели

Пусть х 1 - количество продукции вида А, а х 2 - количество продукции В. Тогда х 1 + 4х 2 - количество материала сорта 1, требуемое на изготовление продукции, а по условию задачи это число не превышает 320

х 1 + 4х 2 <=320 (1)

3х 1 + 4х 2 - количество материала сорта 2, требуемое на изготовление продукции, а по условию задачи это число не превышает 360

3х 1 + 4х 2 <=360 (2)

х 1 + 2х 2 - количество материала сорта 2, требуемое на изготовление продукции, а по условию задачи это число не превышает 180

х 1 + 2х 2 <=180 (3)

кроме того, поскольку х 1 и х 2 выражают объем выпускаемой продукции, то они не могут быть отрицательными, то есть

х 1 > 0, х 2 > 0 (4)

F= х 1 + 2х 2 - прибыль, которая должна быть максимальной. Таким образом, имеем следующую математическую модель для данной задачи

F= х 1 + 2х 2 > max

ПРИМЕР 2

Транспортная задача. Имеется n городов. Выехав из одного из них, коммивояжер должен объехать все и вернуться в исходный город. В каждый город можно заезжать один раз, и, следовательно, маршрут коммивояжера должен образовывать замкнутый цикл без петель. Требуется найти кратчайший замкнутый маршрут коммивояжера, если известна матрица расстояний между городами.

Математическая модель рассматриваемой задачи имеет вид:

Здесь переменная х ij принимает значение 1, если коммивояжер переезжает из города i в город j (i,j = 1,2,…,n, i ? j) и 0 в противном случае. Условие (1) представляет собой оптимизируемую функцию, где с ij - расстояния между городами (i,j = 1,2,…,n, i ? j), причем в общем случае с ij ? с ij ; условие (2) означает, что коммивояжер выезжает из каждого города только один раз; (3) - что он въезжает в каждый город только один раз; (4) обеспечивает замкнутость маршрута и отсутствие петель, где u i и u j - некоторые вещественные значения (i,j = 1,2,…,n, i ? j) (5).

ПРИМЕР 3

Некоторое предприятие производит продукцию 5 видов, используя комплектующие детали 7 наименований А, В, С, D, Е, F, G. Запасы предприятия ограничены некоторым количеством комплектующих деталей. Известно, сколько требуется комплектующих деталей для производства единицы продукции каждого вида и прибыль от производства единицы продукции каждого вида. Определить, сколько требуется продукции каждого вида, чтобы обеспечить предприятию наибольшую прибыль.

Таблица 5.2. Данные по производству продукции

F = 2х 1 + 3х 2 + х 3 + 5х 4 + 4х 5 -

прибыль, которая должна быть максимальной. Таким образом, имеем количество комплектующих для производства оптимального количества продукции:

2х 1 + 2х 2 + х 5 ? 10

количество комплектующих А для производства продукции;

х 1 + 2х 2 + х 4 ? 7

количество комплектующих В для производства продукции;

4х 1 + х 4 ? 12

количество комплектующих С для производства продукции;

4х 4 ? 12

количество комплектующих D для производства продукции;

х 3 + 2х 4 + х 5 ? 15

количество комплектующих E для производства продукции;

х 4 + 3х 5 ? 12

количество комплектующих F для производства продукции;

2х 1 + х 4 ? 8

количество комплектующих G для производства продукции;

причем все переменные Х 1 , Х 2 , Х 3 , Х 4 , Х 5 - должны быть неотрицательные и целочисленные.

Таким образом, имеем следующую математическую модель выпуска продукции для получения максимальной прибыли:

2х 1 + 3х 2 + х 3 + 5х 4 + 4х 5 > max

ПРИМЕР 4

Имеется производство по изготовлению двух видов продукции А и В при ограниченном объеме материалов трех сортов, из которых производится продукция. Исходные данные приведены в таблице.

Таблица 5.3. Исходные данные

Подобные документы

Постановка цели моделирования. Идентификация реальных объектов. Выбор вида моделей, математической схемы. Построение непрерывно-стахостической модели. Основные понятия теории массового обслуживания. Определение потока событий. Постановка алгоритмов.

курсовая работа , добавлен 20.11.2008


Анализ основных способов построения математической модели. Математическое моделирование социально-экономических процессов как неотъемлемая часть методов экономики, особенности. Общая характеристика примеров построения линейных математических моделей.

курсовая работа , добавлен 23.06.2013


Изучение экономических приложений математических дисциплин для решения экономических задач: использование математических моделей в экономике и менеджменте. Примеры моделей линейного и динамического программирования как инструмента моделирования экономики.

курсовая работа , добавлен 21.12.2010


Моделирование. Детерминизм. Задачи детерминированного факторного анализа. Способы измерения влияния факторов в детерминированном анализе. Расчёт детерминированных экономико-математических моделей и методов факторного анализа на примере РУП "ГЗЛиН".

курсовая работа , добавлен 12.05.2008


Задачи, функции и этапы построения экономико-математических моделей. Аналитические, анионные, численные и алгоритмические модели. Экономическая модель спортивных сооружений. Модели временных рядов: тенденции и сезонности. Теории массового обслуживания.

реферат , добавлен 22.07.2009


Основные понятия и типы моделей, их классификация и цели создания. Особенности применяемых экономико-математических методов. Общая характеристика основных этапов экономико-математического моделирования. Применение стохастических моделей в экономике.

реферат , добавлен 16.05.2012


Составление экономико-математической модели плана производства продукции. Теория массового обслуживания. Модели управления запасами. Бездефицитная простейшая модель. Статические детерминированные модели с дефицитом. Корреляционно-регрессионный анализ.

контрольная работа , добавлен 07.02.2013


Теоретические основы экономико-математических методов. Этапы принятия решений. Классификация задач оптимизации. Задачи линейного, нелинейного, выпуклого, квадратичного, целочисленного, параметрического, динамического и стохастического программирования.

курсовая работа , добавлен 07.05.2013


Общие понятия теории массового обслуживания. Особенности моделирования систем массового обслуживания. Графы состояний СМО, уравнения, их описывающие. Общая характеристика разновидностей моделей. Анализ системы массового обслуживания супермаркета.

курсовая работа , добавлен 17.11.2009


Характеристика основных принципов создания математических моделей гидрологических процессов. Описание процессов дивергенции, трансформации и конвергенции. Ознакомление с базовыми компонентами гидрологической модели. Сущность имитационного моделирования.