Уравнение прямой на плоскости.
Направляющий вектор прямой. Вектор нормали

Прямая линия на плоскости – это одна из простейших геометрических фигур, знакомая вам ещё с младших классов, и сегодня мы узнаем, как с ней справляться методами аналитической геометрии. Для освоения материала необходимо уметь строить прямую; знать, каким уравнением задаётся прямая, в частности, прямая, проходящая через начало координат и прямые, параллельные координатным осям. Данную информацию можно найти в методичке Графики и свойства элементарных функций , я её создавал для матана, но раздел про линейную функцию получился очень удачным и подробным. Поэтому, уважаемые чайники, сначала разогрейтесь там. Кроме того, нужно обладать базовыми знаниями о векторах , иначе понимание материала будет неполным.

На данном уроке мы рассмотрим способы, с помощью которых можно составить уравнение прямой на плоскости. Рекомендую не пренебрегать практическими примерами (даже если кажется очень просто), так как я буду снабжать их элементарными и важными фактами, техническими приёмами, которые потребуются в дальнейшем, в том числе и в других разделах высшей математики.

• Как составить уравнение прямой с угловым коэффициентом?
• Как ?
• Как найти направляющий вектор по общему уравнению прямой?
• Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?

и мы начинаем:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Всем известный «школьный» вид уравнения прямой называется уравнением прямой с угловым коэффициентом . Например, если прямая задана уравнением , то её угловой коэффициент: . Рассмотрим геометрический смысл данного коэффициента и то, как его значение влияет на расположение прямой:

В курсе геометрии доказывается, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла между положительным направлением оси и данной прямой : , причём угол «откручивается» против часовой стрелки.

Чтобы не загромождать чертёж, я нарисовал углы только для двух прямых. Рассмотрим «красную» прямую и её угловой коэффициент . Согласно вышесказанному: (угол «альфа» обозначен зелёной дугой). Для «синей» прямой с угловым коэффициентом справедливо равенство (угол «бета» обозначен коричневой дугой). А если известен тангенс угла, то при необходимости легко найти и сам угол с помощью обратной функции – арктангенса. Как говорится, тригонометрическая таблица или микрокалькулятор в руки. Таким образом, угловой коэффициент характеризует степень наклона прямой к оси абсцисс .

При этом возможны следующие случаи:

1) Если угловой коэффициент отрицателен: , то линия, грубо говоря, идёт сверху вниз. Примеры – «синяя» и «малиновая» прямые на чертеже.

2) Если угловой коэффициент положителен: , то линия идёт снизу вверх. Примеры – «чёрная» и «красная» прямые на чертеже.

3) Если угловой коэффициент равен нулю: , то уравнение принимает вид , и соответствующая прямая параллельна оси . Пример – «жёлтая» прямая.

4) Для семейства прямых , параллельных оси (на чертеже нет примера, кроме самой оси ), углового коэффициента не существует (тангенс 90 градусов не определён) .

Чем больше угловой коэффициент по модулю, тем круче идёт график прямой .

Например, рассмотрим две прямые . Здесь , поэтому прямая имеет более крутой наклон. Напоминаю, что модуль позволяет не учитывать знак, нас интересуют только абсолютные значения угловых коэффициентов.

В свою очередь, прямая более крутА, чем прямые .

Обратно: чем меньше угловой коэффициент по модулю, тем прямая является более пологой .

Для прямых справедливо неравенство , таким образом, прямая более полога. Детская горка, чтобы не насадить себе синяков и шишек.

Зачем это нужно?

Продлить ваши мучения Знания вышеперечисленных фактов позволяет немедленно увидеть свои ошибки, в частности, ошибки при построении графиков – если на чертеже получилось «явно что-то не то». Желательно, чтобы вам сразу было понятно, что, например, прямая весьма крутА и идёт снизу вверх, а прямая – очень полога, близко прижата к оси и идёт сверху вниз.

В геометрических задачах часто фигурируют несколько прямых, поэтому их удобно как-нибудь обозначать.

Обозначения : прямые обозначаются маленькими латинскими буквами: . Популярный вариант – обозначение одной и той же буквой с натуральными подстрочными индексами. Например, те пять прямых, которые мы только что рассмотрели, можно обозначить через .

Поскольку любая прямая однозначно определяется двумя точками, то её можно обозначать данными точками: и т.д. Обозначение совершенно очевидно подразумевает, что точки принадлежат прямой .

Пора немного размяться:

Как составить уравнение прямой с угловым коэффициентом?

Если известна точка , принадлежащая некоторой прямой, и угловой коэффициент этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой :

Пример 1

Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом , если известно, что точка принадлежит данной прямой.

Решение : Уравнение прямой составим по формуле . В данном случае:

Ответ :

Проверка выполняется элементарно. Во-первых, смотрим на полученное уравнение и убеждаемся, что наш угловой коэффициент на своём месте. Во-вторых, координаты точки должны удовлетворять данному уравнению. Подставим их в уравнение:

Получено верное равенство, значит, точка удовлетворяет полученному уравнению.

Вывод : уравнение найдено правильно.

Более хитрый пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Составить уравнение прямой, если известно, что её угол наклона к положительному направлению оси составляет , и точка принадлежит данной прямой.

Если возникли затруднения, перечитайте теоретический материал. Точнее больше практический, многие доказательства я пропускаю.

Прозвенел последний звонок, отгремел выпускной бал, и за воротами родной школы нас поджидает, собственно, аналитическая геометрия. Шутки закончились…. А может быть только начинаются =)

Ностальгически машем ручкой привычному и знакомимся с общим уравнением прямой. Поскольку в аналитической геометрии в ходу именно оно:

Общее уравнение прямой имеет вид : , где – некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.

Оденем в костюм и галстук уравнение с угловым коэффициентом . Сначала перенесём все слагаемые в левую часть:

Слагаемое с «иксом» нужно поставить на первое место:

В принципе, уравнение уже имеет вид , но по правилам математического этикета коэффициент первого слагаемого (в данном случае ) должен быть положительным. Меняем знаки:

Запомните эту техническую особенность! Первый коэффициент (чаще всего ) делаем положительным!

В аналитической геометрии уравнение прямой почти всегда будет задано в общей форме. Ну, а при необходимости его легко привести к «школьному» виду с угловым коэффициентом (за исключением прямых, параллельных оси ординат).

Зададимся вопросом, что достаточно знать, чтобы построить прямую? Две точки. Но об этом детском случае позже, сейчас властвуют палочки со стрелочками. У каждой прямой есть вполне определённый наклон, к которому легко «приспособить» вектор .

Вектор, который параллелен прямой, называется направляющим вектором данной прямой . Очевидно, что у любой прямой бесконечно много направляющих векторов, причём все они будут коллинеарны (сонаправлены или нет – не важно).

Направляющий вектор я буду обозначать следующим образом: .

Но одного вектора недостаточно для построения прямой, вектор является свободным и не привязан к какой-либо точке плоскости. Поэтому дополнительно необходимо знать некоторую точку , которая принадлежит прямой.

Как составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору?

Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой , то уравнение данной прямой можно составить по формуле :

Иногда его называют каноническим уравнением прямой .

Что делать, когда одна из координат равна нулю, мы разберёмся в практических примерах ниже. Кстати, заметьте – сразу обе координаты не могут равняться нулю, так как нулевой вектор не задаёт конкретного направления.

Пример 3

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Решение : Уравнение прямой составим по формуле . В данном случае:

С помощью свойств пропорции избавляемся от дробей:

И приводим уравнение к общему виду:

Ответ :

Чертежа в таких примерах, как правило, делать не нужно, но понимания ради:

На чертеже мы видим исходную точку , исходный направляющий вектор (его можно отложить от любой точки плоскости) и построенную прямую . Кстати, во многих случаях построение прямой удобнее всего осуществлять как раз с помощью уравнения с угловым коэффициентом. Наше уравнение легко преобразовать к виду и без проблем подобрать ещё одну точку для построения прямой.

Как отмечалось в начале параграфа, у прямой бесконечно много направляющих векторов, и все они коллинеарны. Для примера я нарисовал три таких вектора: . Какой бы направляющий вектор мы не выбрали, в результате всегда получится одно и то же уравнение прямой .

Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору :

Разруливаем пропорцию:

Делим обе части на –2 и получаем знакомое уравнение:

Желающие могут аналогичным образом протестировать векторы или любой другой коллинеарный вектор.

Теперь решим обратную задачу:

Как найти направляющий вектор по общему уравнению прямой?

Очень просто:

Если прямая задана общим уравнением , то вектор является направляющим вектором данной прямой.

Примеры нахождения направляющих векторов прямых:

Утверждение позволяет найти лишь один направляющий вектор из бесчисленного множества, но нам больше и не нужно. Хотя в ряде случаев координаты направляющих векторов целесообразно сократить:

Так, уравнение задаёт прямую, которая параллельна оси и координаты полученного направляющего вектора удобно разделить на –2, получая в точности базисный вектор в качестве направляющего вектора. Логично.

Аналогично, уравнение задаёт прямую, параллельную оси , и, разделив координаты вектора на 5, получаем в качестве направляющего вектора орт .

Теперь выполним проверку Примера 3 . Пример уехал вверх, поэтому напоминаю, что в нём мы составили уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Во-первых , по уравнению прямой восстанавливаем её направляющий вектор: – всё нормально, получили исходный вектор (в ряде случаев может получиться коллинеарный исходному вектор, и это обычно несложно заметить по пропорциональности соответствующих координат).

Во-вторых , координаты точки должны удовлетворять уравнению . Подставляем их в уравнение:

Получено верное равенство, чему мы очень рады.

Вывод : задание выполнено правильно.

Пример 4

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Это пример для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока. Крайне желательно сделать проверку по только что рассмотренному алгоритму. Старайтесь всегда (если это возможно) выполнять проверку на черновике. Глупо допускать ошибки там, где их 100%-но можно избежать.

В том случае, если одна из координат направляющего вектора нулевая, поступают очень просто:

Пример 5

Решение : Формула не годится, так как знаменатель правой части равен нулю. Выход есть! Используя свойства пропорции, перепишем формулу в виде , и дальнейшее покатилось по глубокой колее:

Ответ :

Проверка :

1) Восстановим направляющий вектор прямой :
– полученный вектор коллинеарен исходному направляющему вектору.

2) Подставим координаты точки в уравнение :

Получено верное равенство

Вывод : задание выполнено правильно

Возникает вопрос, зачем маяться с формулой , если существует универсальная версия , которая сработает в любом случае? Причин две. Во-первых, формула в виде дроби гораздо лучше запоминается . А во-вторых, недостаток универсальной формулы состоит в том, что заметно повышается риск запутаться при подстановке координат.

Пример 6

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору .

Это пример для самостоятельного решения.

Вернёмся к вездесущим двум точкам:

Как составить уравнение прямой по двум точкам?

Если известны две точки , то уравнение прямой, проходящей через данные точки, можно составить по формуле:

На самом деле это разновидность формулы и вот почему: если известны две точки , то вектор будет направляющим вектором данной прямой. На уроке Векторы для чайников мы рассматривали простейшую задачу – как найти координаты вектора по двум точкам. Согласно данной задаче, координаты направляющего вектора:

Примечание : точки можно «поменять ролями» и использовать формулу . Такое решение будет равноценным.

Пример 7

Составить уравнение прямой по двум точкам .

Решение : Используем формулу:

Причёсываем знаменатели:

И перетасовываем колоду:

Именно сейчас удобно избавиться от дробных чисел. В данном случае нужно умножить обе части на 6:

Раскрываем скобки и доводим уравнение до ума:

Ответ :

Проверка очевидна – координаты исходных точек должны удовлетворять полученному уравнению:

1) Подставим координаты точки :

Верное равенство.

2) Подставим координаты точки :

Верное равенство.

Вывод : уравнение прямой составлено правильно.

Если хотя бы одна из точек не удовлетворяет уравнению, ищите ошибку.

Стоит отметить, что графическая проверка в данном случае затруднительна, поскольку построить прямую и посмотреть, принадлежат ли ей точки , не так-то просто.

Отмечу ещё пару технических моментов решения. Возможно, в данной задаче выгоднее воспользоваться зеркальной формулой и, по тем же точкам составить уравнение:

Таки дробей поменьше. Если хотите, можете довести решение до конца, в результате должно получиться то же самое уравнение.

Второй момент состоит в том, чтобы посмотреть на итоговый ответ и прикинуть, нельзя ли его ещё упростить? Например, если получилось уравнение , то здесь целесообразно сократить на двойку: – уравнение будет задавать ту же самую прямую. Впрочем, это уже тема разговора о взаимном расположении прямых .

Получив ответ в Примере 7, я на всякий случай, проверил, не делятся ли ВСЕ коэффициенты уравнения на 2, 3 или 7. Хотя, чаще всего подобные сокращения осуществляются ещё по ходу решения.

Пример 8

Составить уравнение прямой, проходящей через точки .

Это пример для самостоятельного решения, который как раз позволит лучше понять и отработать технику вычислений.

Аналогично предыдущему параграфу: если в формуле один из знаменателей (координата направляющего вектора) обращается в ноль, то переписываем её в виде . И снова заметьте, как неуклюже и запутанно она стала выглядеть. Не вижу особого смысла приводить практические примеры, поскольку такую задачу мы уже фактически прорешали (см. № 5, 6).

Вектор нормали прямой (нормальный вектор)

Что такое нормаль? Простыми словами, нормаль – это перпендикуляр. То есть, вектор нормали прямой перпендикулярен данной прямой. Очевидно, что у любой прямой их бесконечно много (так же, как и направляющих векторов), причём все векторы нормали прямой будут коллинеарными (сонаправленными или нет – без разницы).

Разборки с ними будут даже проще, чем с направляющими векторами:

Если прямая задана общим уравнением в прямоугольной системе координат, то вектор является вектором нормали данной прямой.

Если координаты направляющего вектора приходится аккуратно «вытаскивать» из уравнения, то координаты вектора нормали достаточно просто «снять».

Вектор нормали всегда ортогонален направляющему вектору прямой. Убедимся в ортогональности данных векторов с помощью скалярного произведения :

Приведу примеры с теми же уравнениями, что и для направляющего вектора:

Можно ли составить уравнение прямой, зная одну точку и вектор нормали? Нутром чувствуется, можно. Если известен вектор нормали, то однозначно определено и направление самой прямой – это «жёсткая конструкция» с углом в 90 градусов.

Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?

Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и вектор нормали этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой :

Тут всё обошлось без дробей и прочих нежданчиков. Такой вот у нас нормальный вектор. Любите его. И уважайте =)

Пример 9

Составить уравнение прямой по точке и вектору нормали . Найти направляющий вектор прямой.

Решение : Используем формулу:

Общее уравнение прямой получено, выполним проверку:

1) «Снимаем» координаты вектора нормали с уравнения : – да, действительно, получен исходный вектор из условия (либо должен получиться коллинеарный исходному вектор).

2) Проверим, удовлетворяет ли точка уравнению :

Верное равенство.

После того, как мы убедились в том, что уравнение составлено правильно, выполним вторую, более лёгкую часть задания. Вытаскиваем направляющий вектор прямой:

Ответ :

На чертеже ситуация выглядит следующим образом:

В целях тренировки аналогичная задача для самостоятельного решения:

Пример 10

Составить уравнение прямой по точке и нормальному вектору . Найти направляющий вектор прямой.

Заключительный раздел урока будет посвящен менее распространённым, но тоже важным видам уравнений прямой на плоскости

Уравнение прямой в отрезках.
Уравнение прямой в параметрической форме

Уравнение прямой в отрезках имеет вид , где – ненулевые константы. Некоторые типы уравнений нельзя представить в таком виде, например, прямую пропорциональность (так как свободный член равен нулю и единицу в правой части никак не получить).

Это, образно говоря, «технический» тип уравнения. Обыденная задача состоит в том, чтобы общее уравнение прямой представить в виде уравнения прямой в отрезках . Чем оно удобно? Уравнение прямой в отрезках позволяет быстронайти точки пересечения прямой с координатными осями, что бывает очень важным в некоторых задачах высшей математики.

Найдём точку пересечения прямой с осью . Обнуляем «игрек», и уравнение принимает вид . Нужная точка получается автоматически: .

Аналогично с осью – точка, в которой прямая пересекает ось ординат.

Уравнение прямой вида , где a и b – некоторые действительные числа отличные от нуля, называется уравнением прямой в отрезках . Это название не случайно, так как абсолютные величины чисел а и b равны длинам отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях Ox и Oy соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат). Таким образом, уравнение прямой в отрезках позволяет легко строить эту прямую на чертеже. Для этого следует отметить в прямоугольной системе координат на плоскости точки с координатами и , и с помощью линейки соединить их прямой линией.

Для примера построим прямую линию, заданную уравнением в отрезках вида . Отмечаем точки и соединяем их.

Детальную информацию об этом виде уравнения прямой на плоскости Вы можете получить в статье уравнение прямой в отрезках.

К началу страницы

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Алгебра и аналитическая геометрия. Понятие матрица, операции над матрицами и их свойства

Понятие матрица операции над матрицами и их свойства.. матрица это прямоугольная таблица составленная из чисел которые нельзя.. а сложение матриц поэлементная операция..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Определение дифференцируемости
Операция нахождения производной называется дифференцированием функции. Функция называется дифференцируемой в некоторой точке, если она имеет в этой точке конечную производную, и

Правило дифференцирования
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной
Углом наклона прямой y = kx+b называют угол, отсчитываемый от полож

Геометрический смысл производной функции в точке
Рассмотрим секущую АВ графика функции y = f(x) такую, что точки А и В имеют соответственно координаты

Решение
Функция определена для всех действительных чисел. Так как (-1; -3) – точка касания, то

Необходимые условия экстремума и достаточные условия экстремума
Определение возрастающей функции. Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых

Достаточные признаки экстремума функции
Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех достаточных признаков экстремума. Хотя самым распространенным и удобным является первый из них.

Формула Ньютона-Лейбница (с доказательством)
Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедливо рав

И подробно разберем особый вид уравнения прямой – . Начнем с вида уравнения прямой в отрезках и приведем пример. После этого остановимся на построении прямой линии, которая задана уравнением прямой в отрезках. В заключении покажем, как осуществляется переход от полного общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках.

Навигация по странице.

Уравнение прямой в отрезках – описание и пример.

Пусть на плоскости зафиксирована Oxy .

Уравнение прямой в отрезках на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy имеет вид , где a и b - некоторые отличные от нуля действительные числа.

Уравнение прямой в отрезках не случайно получило такое название - абсолютные величины чисел a и b равны длинам отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях Ox и Oy , считая от начала координат.

Поясним этот момент. Мы знаем, что координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению этой прямой. Тогда отчетливо видно, что прямая, заданная уравнением прямой в отрезках, проходит через точки и , так как и . А точки и как раз расположены на координатных осях Ox и Oy соответственно и удаленны от начала координат на a и b единиц. Знаки чисел a и b указывают направление, в котором следует откладывать отрезки. Знак «+» означает, что отрезок откладывается в положительном направлении координатной оси, знак «-» означает обратное.

Изобразим схематический чертеж, поясняющий все вышесказанное. На нем показано расположение прямых относительно фиксированной прямоугольной системы координат Oxy в зависимости от значений чисел a и b в уравнении прямой в отрезках.

Теперь стало понятно, что уравнение прямой в отрезках позволяет легко производить построение этой прямой линии в прямоугольной системе координат Oxy . Чтобы построить прямую линию, которая задана уравнением прямой в отрезках вида , следует отметить в прямоугольной системе координат на плоскости точки и , после чего соединить их прямой линией с помощью линейки.

Приведем пример.

Пример.

Постройте прямую линию, заданную уравнением прямой в отрезках вида .

Решение.

По заданному уравнению прямой в отрезках видно, что прямая проходит через точки . Отмечаем их и соединяем прямой линией.

Приведение общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках.

При решении некоторых задач, связанных с прямой на плоскости, удобно работать с уравнением прямой в отрезках. Однако существуют другие виды уравнений, задающих прямую на плоскости. Поэтому приходится осуществлять переход от заданного уравнения прямой к уравнению этой прямой в отрезках.

В этом пункте мы покажем, как получить уравнение прямой в отрезках, если дано полное общее уравнение прямой .

Пусть нам известно полное общее уравнение прямой на плоскости . Так как А , В и С не равны нулю, то можно перенести число С в правую часть равенства, разделить обе части полученного равенства на –С , а коэффициенты при x и y отправить в знаменатели:
.

(В последнем переходе мы пользовались равенством ).

Так мы от общего уравнения прямой перешли к уравнению прямой в отрезках , где .

Пример.

Прямая в прямоугольной системе координат Oxy задана уравнением . Напишите уравнение этой прямой в отрезках.

Решение.

Перенесем одну вторую в правую часть заданного равенства: . Теперь разделим на обе части полученного равенства: . Осталось преобразовать полученное равенство к нужному виду: . Так мы получили требуемое уравнение прямой в отрезках.

Ответ:

Если прямую определяет

Задача — по заданным координатам конца отрезка построить прямую, проходящую через него.

Мы считаем, что отрезок невырожден, т.е. имеет длину больше нуля (иначе, понятно, через него проходит бесконечно много различных прямых).

Двумерный случай

Пусть дан отрезок , т.е. известны координаты его концов , , , .

Требуется построить уравнение прямой на плоскости , проходящей через этот отрезок, т.е. найти коэффициенты , , в уравнении прямой:

Заметим, что искомых троек , проходящих через заданный отрезок, бесконечно много : можно умножить все три коэффициента на произвольное ненулевое число и получить ту же самую прямую. Следовательно, наша задача — найти одну из таких троек.

Нетрудно убедиться (подстановкой этих выражений и координат точек и в уравнение прямой), что подходит следующий набор коэффициентов:

Целочисленный случай

Важным преимуществом такого способа построения прямой является то, что если координаты концов были целочисленными, то и полученные коэффициенты также будут целочисленными . В некоторых случаях это позволяет производить геометрические операции, вообще не прибегая к вещественным числам.

Однако есть и небольшой недостаток: для одной и той же прямой могут получаться разные тройки коэффициентов. Чтобы избежать этого, но не уходить от целочисленных коэффициентов, можно применить следующий приём, часто называемый нормированием . Найдём наибольший общий делитель чисел , , , поделим на него все три коэффициента, а затем произведём нормировку знака: если или , то умножим все три коэффициента на . В итоге мы придём к тому, что для одинаковых прямых будут получаться одинаковые тройки коэффициентов, что позволит легко проверять прямые на равенство.

Вещественнозначный случай

При работе с вещественными числами следует всегда помнить о погрешностях.

Коэффициенты и получаются у нас порядка исходных координат, коэффициент — уже порядка квадрата от них. Это уже может быть достаточно большими числами, а, например, при пересечении прямых они станут ещё больше, что может привести к большим ошибкам округления уже при исходных координатах порядка .

Поэтому при работе с вещественными числами желательно производить так называемую нормировку прямой: а именно, делать коэффициенты такими, чтобы . Для этого надо вычислить число :

и разделить все три коэффициента , , на него.

Тем самым, порядок коэффициентов и уже не будет зависеть от порядка входных координат, а коэффициент будет того же порядка, что и входные координаты. На практике это приводит к значительному улучшению точности вычислений.

Наконец, упомянем о сравнении прямых — ведь после такой нормировки для одной и той же прямой могут получаться только две тройки коэффициентов: с точностью до умножения на . Соответственно, если мы произведём дополнительную нормировку с учётом знака (если или , то умножать на ), то получающиеся коэффициенты будут уникальными.

Задание 1 #6713

Уровень задания: Равен ЕГЭ

\[\begin{cases} \sqrt{(x+2)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-a)^2}=\sqrt{4+a^2}\\ 5y=|6-a^2| \end{cases}\]

имеет единственное решение.

(Задача от подписчиков)

Рассмотрим второе уравнение системы: оно задает семейство прямых \(y=0,2|6-a^2|\) , параллельных оси \(Ox\) и лежащих в верхней полуплоскости (включая ось \(Ox\) ) при любом значении параметра \(a\) (т.к. модуль всегда неотрицателен).

Рассмотрим первое уравнение. Пусть \(A(x;y)\) , \(B(-2;0)\) , \(C(0;a)\) – точки. Тогда \(BA=\sqrt{(x+2)^2+y^2}\) , \(AC=\sqrt{x^2+(y-a)^2}\) , \(BC=\sqrt{4+a^2}\) .
Таким образом, первое уравнение системы выглядит так: \(BA+AC=BC\) . Значит, оно задает геометрическое место точек \(A\) , лежащих на отрезке \(BC\) .

Для того, чтобы данная система имела единственное решение, прямая \(y=0,2|6-a^2|\) должна пересекать отрезок \(BC\) в одной точке.

1) Пусть \(a<0\) , то есть точка \(C\) лежит на отрицательной части оси \(Oy\) . Единственный случай, когда прямая \(y=0,2|6-a^2|\) будет иметь с отрезком одну общую точку, – когда прямая \(y=0,2|6-a^2|\) будет проходить через точку \(B\) , то есть совпадать с осью абсцисс. Отсюда \(0,2|6-a^2|=0\) , следовательно, \(a=\pm \sqrt6\) . Так как \(a<0\) , то \(a=-\sqrt6\) .

2) Пусть \(a=0\) . Тогда отрезок \(BC\) лежит на оси абсцисс, прямая \(y=0,2|6-a^2|\) – в верхней полуплоскости, и общих точек у них нет.

3) Пусть \(a>0\) . Тогда \(C\) лежит на положительном направлении оси ординат.

Прямая \(y=0,2|6-a^2|\) пересекает ось ординат в точке \(D\) . Для того, чтобы прямая пересекала отрезок \(BC\) , нужно, чтобы точка \(C\) находилась не ниже точки \(D\) , то есть \

Решим данное неравенство. Т.к. \(a>0\) , то имеем: \[|6-a^2|\leqslant 5a\quad\Leftrightarrow\quad -5a\leqslant 6-a^2\leqslant 5a\quad\Leftrightarrow\quad 1\leqslant a\leqslant 6.\]

Ответ:

\(a\in\{-\sqrt6\}\cup\)

Задание 2 #3978

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых система \[\begin{cases} y^2-(2a+1)y+a^2+a-2=0\\ \sqrt{(x-a)^2+y^2}+\sqrt{(x-a)^2+(y-3)^2}=3 \end{cases}\] имеет ровно одно решение.

Преобразуем первое уравнение системы. Заметим, что \(a^2+a-2=(a+2)(a-1)\) . Заметим также, что \(a+2+a-1=2a+1\) , следовательно, по теореме Виета корнями этого уравнения будут \(y=a+2\) и \(y=a-1\) . Значит, графиком первого уравнения будут две прямые \(y=a+2\) и \(y=a-1\) , параллельные оси абсцисс.

Преобразуем второе уравнение. Рассмотрим точки \(A(a;0)\) , \(B(a;3)\) , \(C(x;y)\) . Тогда \(AB=\sqrt{(a-a)^2+(0-3)^2}=3\) , \(AC=\sqrt{(x-a)^2+y^2}\) и \(CB=\sqrt{(x-a)^2+(y-3)^2}\) . Следовательно, второе уравнение системы можно переписать в виде \(AC+CB=AB\) . Значит, оно задает множество точек \(C\) , которые лежат на отрезке \(AB\) . Заметим, что так как у точек \(A\) и \(B\) абсцисса одинаковая, то отрезок \(AB\) перпендикулярен оси абсцисс.

Схематично графики обоих уравнений выглядят так:

Чтобы система имела единственное решение, нужно, чтобы зеленый график пересекал отрезок \(AB\) в одной точке. Следовательно, либо прямая \(y=a+2\) пересекает отрезок, а прямая \(y=a-1\) его не пересекает, либо наоборот: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} 0\leqslant a+2\leqslant 3\\ a-1<0 \end{cases} \\ &\begin{cases} 0\leqslant a-1\leqslant 3\\ a+2>3\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad a\in [-2;1)\cup(1;4]\]

Ответ:

\([-2;1)\cup(1;4]\)

Задание 3 #3979

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение параметра \(a\) , при котором уравнение \[\sqrt{(x+8)^2+(x+2)^2}+\sqrt{(x+14)^2+(x+3)^2}=13a\] имеет хотя бы один корень.

1 способ.

Рассмотрим \(f(x)=\sqrt{(x+8)^2+(x+2)^2}+\sqrt{(x+14)^2+(x+3)^2}\) .
Тогда уравнение примет вид \(f(x)=13a\) . Тогда нам нужно найти наименьшее значение \(a\) , при котором прямая \(y=13a\) будет пересекать график \(y=f(x)\) хотя бы в одной точке. Исследуем \(f(x)\) . Для этого найдем сначала ее производную: \[\begin{aligned} &f"(x)=\dfrac{2(x+8)+2(x+2)}{2\sqrt{(x+8)^2+(x+2)^2}}+ \dfrac{2(x+14)+2(x+3)}{2\sqrt{(x+14)^2+(x+3)^2}}=\\ &=\dfrac{2x+10}{\sqrt{(x+8)^2+(x+2)^2}}+ \dfrac{2x+17}{\sqrt{(x+14)^2+(x+3)^2}} \end{aligned}\] Найдем нули производной: \[\begin{aligned} &\dfrac{2x+10}{\sqrt{(x+8)^2+(x+2)^2}}+ \dfrac{2x+17}{\sqrt{(x+14)^2+(x+3)^2}}=0 \quad\Leftrightarrow\\ &\sqrt{\dfrac{(x+14)^2+(x+3)^2}{(x+8)^2+(x+2)^2}}=-\dfrac{2x+17}{2x+10} \quad\Leftrightarrow\\ &\begin{cases} \dfrac{(x+14)^2+(x+3)^2}{(x+8)^2+(x+2)^2}=\left(\dfrac{2x+17}{2x+10}\right)^2 \qquad (*)\\ \dfrac{2x+17}{2x+10}\leqslant 0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\\ &\begin{cases} 85x^2+598x+424=0\\ x\in \left[-8,5; -5\right) \end{cases} \quad\Leftrightarrow\\ & x=-\dfrac{106}{17} \end{aligned}\]

Определим знаки производной:

Следовательно, схематично график функции выглядит так:

Следовательно, наименьшее значение параметра \(a\) – когда прямая \(y=13a\) проходит через точку экстремума функции \(f(x)\) : \

2 способ.

Заметим, что в первом способе было очень много вычислений и на самом деле нам повезло, что при решении уравнения \((*)\) слагаемые с \(x^4\) и \(x^3\) взаимно уничтожились и мы пришли к квадратному уравнению. А что делать, если числа так хорошо не подобраны и мы не получим в конечном итоге “красивое” уравнение, которое сможем решить?
Давайте рассмотрим второй способ решения подобных уравнений.

Рассмотрим три точки: \(A(x;x)\) , \(B(-8; -2)\) , \(C(-14; -3)\) . Тогда уравнение примет вид \ Если нам нужно найти наименьшее значение параметра \(a\) , при котором уравнение имеет хотя бы одно решение, то нам нужно найти точку \(A\) , при которой сумма длин отрезков \(AB\) и \(AC\) будет наименьшей.
Где располагается точка \(A\) ? Эта точка “бегает” по прямой \(y=x\) . Графически это выглядит так:

Здесь мы будем использовать классическую идею планиметрии. Отразим симметрично точку \(B\) относительно прямой \(y=x\) (то есть проведем \(BB"\perp y=x\) , где \(BH=HB"\) :

Тогда \(AB+AC=AB"+AC\) . Заметим, что по правилу треугольника, если точка \(A\) не лежит на отрезке \(B"C\) , то \(AB"+AC>B"C\) . Следовательно, наименьшая сумма длин \(AB"+AC\) будет достигаться тогда, когда \(A\in B"C\) .

Таким образом, мы идейно поняли, где должна находиться точка \(A\) . Теперь осталось найти ее координаты.

1) Найдем координаты точки \(B"\) .
Для этого сначала найдем уравнение прямой \(BB"\) . Так как \(BB"\perp y=x\) , то если уравнение прямой \(BB"\) имеет вид \(y=kx+b\) , то \(k\cdot 1=-1\) (произведение угловых коэффициентов двух взаимно перпендикулярных прямых равно \(-1\) ). Следовательно, \(y=-x+b\) .
Для того, чтобы найти число \(b\) , нужно подставить координаты точки \(B\) в уравнение прямой: \[-2=-1\cdot (-8)+b\quad\Leftrightarrow\quad b=-10\] Следовательно, уравнение прямой имеет вид \(y=-x-10\) .
Найдем координаты точки \(H\) – это точка пересечения прямых \(y=x\) и \(y=-x-10\) : \[\begin{cases} y=x\\ y=-x-10\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x=y=-5\quad\Rightarrow\quad H(-5;-5)\] \(H\) – середина отрезка \(BB"\) . Значит, если координаты точки \(B"\) равны \((x_0;y_0)\) , то \[\begin{cases} -5=\dfrac{-8+x_0}2\\ -5=\dfrac{-2+y_0}2\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x_0=-2\\ y_0=-8\end{cases}\] Таким образом, \(B"(-2;-8)\) .

2) Найдем уравнение прямой \(B"C\) . Если уравнение этой прямой в общем виде выглядит как \(y=mx+n\) , то \[\begin{cases} -8=-2m+n\\ -3=-14m+n\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} m=-\dfrac5{12}\\ n=-\dfrac{53}6\end{cases}\] Следовательно, \(y=-\frac5{12}x-\frac{53}6\) . Теперь можно найти координаты точки \(A\) – это точка пересечения прямых \(y=x\) и \(B"C\) : \[\begin{cases} y=x\\ y=-\frac5{12}x-\frac{53}6\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x=y=-\dfrac{106}{17}\]

3) Теперь можно найти значение параметра \(a\) . \

Чем хорош этот способ? Во-первых, он более изящный. Во-вторых, в ходе решения мы сталкивались только с линейными уравнениями, которые решать намного проще.

Ответ:

\(a=1\)

Задание 4 #3909

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при которых система \[\begin{cases} x^2+|x^2-2x|=y^2+|y^2-2y|\\ x+y=a\end{cases}\]

имеет более двух решений.

Изобразим график первого уравнения. Для этого рассмотрим случаи:

1) \(x^2-2x\geqslant 0\) , \(y^2-2y\geqslant 0\) . Тогда уравнение примет вид \ Тогда в этом случае получаем такой график:

2) \(x^2-2x\leqslant 0\) , \(y^2-2y\leqslant 0\) . Тогда: \ Значит, график для первых двух случаев будет выглядеть уже так:

3) \(x^2-2x\geqslant 0\) , \(y^2-2y\leqslant 0\) . Тогда уравнение примет вид: \ Следовательно, добавится еще:

4) \(x^2-2x\leqslant 0\) , \(y^2-2y\geqslant 0\) . Тогда имеем: \ Графиком будет являться такая же парабола, как и в п.3, только с поменявшимися осями:

Графиком \(x+y=a\) при каждом фиксированном \(a\) является прямая \(y=-x+a\) , то есть прямая, параллельная \(y=-x\) (а также параллельная части прямой \(y=1-x\) из п. 1).
Для того, чтобы система имела более двух решений, нужно, чтобы прямая \(y=-x+a\) находилась в положениях от (1) (не включительно) до (2) (включительно):

Действительно, когда прямая находится в положении (2), то система будет иметь бесконечное множество решений (а именно, часть прямой \(y=1-x\) при \(x\in (-\infty;-1]\cup\]