Геометрические вероятности. Геометрическое определение вероятности. Задачи с решениями Геометрическое определение вероятности

Классическое определœение вероятности

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием принято называть событие, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. К примеру, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Событие принято называть достоверным, в случае если в результате испытания оно обязательнопроисходит. Невозможным принято называть событие, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, в случае если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, в случае если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход принято называть благоприятствующим появлению события А, в случае если появление этого события влечет за собой появление события А.

Геометрическое определœение вероятности

Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы - ϶ᴛᴏ отдельные точки G, любое событие - ϶ᴛᴏ подмножество этой области, пространства элементарных исходов G. Можно считать, что всœе точки G ʼʼравноправныʼʼ и тогда вероятность попадания точки в неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ подмножество пропорционально его мере (длинœе, площади, объёму) и не зависит от его расположения и формы.

Геометрическая вероятность события А определяется отношением: , где m(G), m(A) – геометрические меры (длины, площади или объёмы) всœего пространства элементарных исходов и события А.

Пример. На плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной 2d, расстояние между осœевыми линиями которых равно 2D, наудачу брошен круг радиуса r (). Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.

Решение. В качестве элементарного исхода этого испытания будем считать расстояние x от центра круга до осœевой линии ближайшей к кругу полосы. Тогда всœе пространство элементарных исходов - ϶ᴛᴏ отрезок . Пересечение круга с полосой произойдет в том случае, в случае если его центр попадет в полосу, ᴛ.ᴇ. , или будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус, ᴛ.ᴇ. .

Для искомой вероятности получаем: .

5. Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу практически произведенных испытаний. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, относительная частота А определяется формулой:

(2)где m-число появлений события, n-общее число испытаний . Сопоставляя определœение вероятности и относительной частоты, заключаем: определœение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определœение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта͵ а относительную частоту - после опыта.

Пример 2. Из 80 случайно выбранных сотрудников 3 человека имеют серьезные нарушения сердечной деятельности. Относительная частота появления людей с больным сердцем

В качестве статической вероятности принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (статистическим определœением вероятности). Число, к которому стремится устойчивая относительная частота͵ принято называть статистической вероятностью этого события.

6. Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. К примеру, в случае если из орудия произведены два выстрела и А - попадание при первом выстрелœе, В - попадание при втором выстрелœе, то А + В - попадание при первом выстрелœе, или при втором, или в обоих выстрелах.

В частности, в случае если два события А и B - несовместные, то А + В - событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.Суммой нескольких событий называют событие, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. К примеру, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.Пусть события A и В - несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие A, либо событие В? Ответ на данный вопрос дает теорема сложения.Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).Доказательство

С л е д с т в и е. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (A 1 + A 2 + ... + A n) = Р (A 1) + Р (A 2) + ... + Р (A n).

Геометрическое определение вероятности - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Геометрическое определение вероятности" 2017, 2018.

Классическое определение вероятности связано с понятием элементарного события. Рассматривается некий набор Ω равновероятных событий A i , которые в совокупности дают достоверное событие. И тогда все хорошо: всякое событие разбивается на элементарные, после чего считается его вероятность.

Однако, далеко не всегда исходный набор Ω (т.е. пространство всех элементарных событий) является конечным. Например, в качестве Ω можно взять ограниченное множество точек на плоскости или отрезок на прямой.

В качестве события A можно рассмотреть любую подобласть области Ω. Например, фигуру внутри исходной фигуры на плоскости или отрезок, лежащий внутри исходного отрезка на прямой.

Заметим, что элементарным событием на таком множестве может быть только точка. В самом деле, если множество содержит более одной точки, его можно разбить на два непустых подмножества. Следовательно, такое множество уже неэлементарно.

Теперь определим вероятность. Тут тоже все легко: вероятность «попадания» в каждую конкретную точку равна нулю. Иначе получим бесконечную сумму одинаковых положительных слагаемых (ведь элементарные события равновероятны), которые в сумме по-любому больше P (Ω) = 1.

Итак, элементарные события для бесконечных областей Ω - это отдельные точки, причем вероятность «попадания» в любую из них равна нулю. Но как искать вероятность неэлементарного события, которое, подобно Ω, содержит бесконечное множество точек? Вот мы и пришли к определению геометрической вероятности.

Геометрическая вероятность события A , являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости - это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω:

Задача. Мишень имеет форму окружности радиуса 4. Какова вероятность попадания в ее правую половину, если попадание в любую точку мишени равновероятно? При этом промахи мимо мишени исключены.

Взглянем на картинку: нас устроит любая точка из правого полукруга. Очевидно, площадь S (A ) этого полукруга составляет ровно половину площади всего круга, поэтому имеем:

Как видите, ничего сложного в геометрической вероятности нет. Однако даже в Москве многие репетиторы по высшей математике стараются обойти эту тему стороной, поскольку считают ее необязательной. Результат - непонимание материала и, как следствие, проблемы на экзамене по теории вероятностей.

Чтобы наглядно представить себе, что такое геометрическая вероятность, возьмите лист бумаги и начертите произвольную фигуру. Треугольник, квадрат или окружность - что угодно. Затем возьмите острый, хорошо заточенный карандаш и ткните им в любую точку фигуры. Повторите этот нехитрый процесс несколько раз. Если исключить попадания за пределами фигуры, то получится вот что:

1. Вероятность попадания в фигуру равна P (Ω) = 1. Это вполне логично, поскольку вся наша фигура - это и есть пространство элементарных событий Ω;
2. Если некоторую точку (элементарное событие) отметить заранее, то вероятность попадания именно в нее равна нулю. Даже если специально «целиться», точного попадания не будет. Ошибка составит тысячные доли миллиметра, но не ноль;
3. Теперь возьмем две точки. Вероятность попадания в любую из них все равно ноль. Аналогично, если взять 3 точки. Или пять - без разницы.

Этот опыт показывает, что конечная сумма нулевых слагаемых всегда равна нулю. Но что происходит, когда слагаемых становится бесконечно много? Здесь ситуация не так однозначна, и возможны три варианта:

1. Сумма равна нулю, как и для конечного набора точек. Если в нашем опыте отмечать точки до бесконечности, вероятность попадания в их объединение все равно нулевая;
2. Сумма равна некоторому положительному числу - этот случай принципиально отличается от первого. Здесь и возникает геометрическая вероятность;
3. Сумма равна бесконечности - бывает и такое, но сейчас нас это не интересует.

Почему так происходит? Механизм возникновения положительных чисел и бесконечностей связан с понятием счетности множества. Кроме того, надо понимать, что такое мера Лебега. Впрочем, эти знания действительно нужны вам, только если вы учитесь на математика.

Классическое определение вероятности имеет ограничение по его применению. Предполагается, что множество элементарных событий Ω конечно или счетное, т.е. Ω = {ω 1 , ω 2 , … , ω n , …}, а все ω i – равновозможные элементарные события. Однако, на практике встречаются испытания, для которых множество элементарных исходов бесконечно. Например, при изготовлении на станке некоторой детали нужно выдержать определенный размер. Здесь точность изготовления детали зависит от мастерства рабочего, качества режущего инструмента, совершенства станка и т.д. Если под испытанием понимать изготовление детали, то в результате такого испытания возможно бесконечное множество исходов, в данном случае получение деталей требуемого размера.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, иногда используют некоторые понятия геометрии (если, конечно, позволяют обстоятельства испытания). Во всех таких случаях предполагается возможность проведения (хотя бы теоретически) любого числа испытаний, и понятию равновозможности также отводится главная роль.

Пусть рассматривается испытание с пространством событий, элементарные исходы которых представляются в виде точек, заполняющих некоторую область Ω (в трёхмерном пространстве R 3). Пусть событие А состоит в попадании брошенной случайным образом точки в подобласть D области Ω. Событию А благоприятствуют элементарные события, в которых точка попадает в некоторую подобласть D . Тогда под вероятностью события А будем понимать отношение объёма подобласти D (выделенная область на рис. 1.11) к объёму области Ω, Р (А ) = V (D ) / V (Ω).

Здесь, по аналогии с понятием благоприятствую-щего исхода, область D будем называть благопри-ятствующей появлению события А . Аналогично определяется вероятность события А, когда множество Ω представляет собой некоторую область на плоскости или отрезок на прямой линии. В этих случаях объёмы областей заменяются соответственно площадями фигур или длинами отрезков.

Таким образом, мы приходим к новому определению ‒ геометрической вероятности для испытаний с бесконечным несчётным множеством элементарных событий, которое формулируется следующим образом.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры подобласти, благоприятствующей появлению этого события, к мере всей области, т.е.

р(А) = mesD / mes Ω,

где mes – мера областей D и Ω, D Ì Ω.

Геометрическая вероятность события обладает всеми свойствами, присущими классическому определению вероятности. Например, 4-е свойство будет таким: р (А + В ) = р (А ) + р (В ).

В конце июля, августе и начале сентября 2010 года в России возникла сложная пожарная обстановка из-за ряда пожаров, сопровождавшихся смогом и задымлением городов, а также жертвами и многочисленными убытками. Так, по состоянию на 7 августа 2010 была зафиксирована гибель 53 человек, уничтожено более 1200 домов. Площадь пожаров составила более чем 500 тысяч гектаров. На борьбу с огнём были брошены все силы, и, конечно, воздушная техника, позволявшая тушить участки, доступ к которым по земле был затруднён или невозможен. Меня заинтересовал один вопрос: какова вероятность того, что водный «снаряд» попадет в назначенное место во время того, как самолет движется на огромной скорости, а леса и поля мелькают внизу, подобно брызгам с кисти неосторожного художника? Или же здесь можно полагаться лишь на интуицию и на опытность пилота?

Оказалось, что существует целая наука, занимающаяся нахождением вероятности происхождения того или иного события. Причем один из её разделов посвящен геометрической вероятности. Я решила глубже изучить его для ответа на свой вопрос.

Проблема: возможно ли применение геометрической вероятности для решения практических задач?

Цель работы: исследование раздела математики «геометрическая вероятность» и применение полученных знаний для решения поставленной проблемы.

Задачи:

Познакомиться с историей возникновения теории вероятности как науки и, в частности, её раздела о геометрической вероятности;

Изучить теорию по данной теме;

Рассмотреть типовые задачи и основные способы их решений;

Применить полученные знания на практике.

Методы решения:

Изучение литературы по данной теме;

Анализ материала;

Выбор задач различных типов и уровней сложности;

Ознакомление с методами решения задач на нахождение геометрической вероятности;

Применение навыков для решения практических задач;

Синтез полученных данных.

Основная часть

1.Сведения из истории

Люди еще в 17 веке пытались найти закономерность или определить количество благоприятных исходов для того или иного события. После первых работ итальянских ученых Дж. Кардано, Н. Тарталья, относящихся к 16 веку, такие задачи изучали французские математики Б.Паскаль и П.Ферма. Опыты проводились на игральных костях и были рассчитаны на прогнозирование выигрыша. Из автобиографии Кардано известно, что одно время он был страстным игроком. Вместе с Тартальей они подсчитали различные варианты выпадения очков и составили таблицу, которую впоследствии повторял (в другой форме) Паскаль. Он придал ей форму треугольника и обнародовал ее («Трактат об арифметическом треугольнике», около 1654 г).

Под влиянием поднятых и рассматриваемых этими учеными вопросов решением тех же задач занимался и . При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей вышла в печатном виде на двадцать лет раньше () издания писем Паскаля и Ферма ().

Важный вклад в теорию вероятностей внёс : он доказал в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине основной вклад внесли русские учёные , А. А. Марков и . В это время были доказаны , , а также разработана теория . Современный вид теория вероятностей получила благодаря у и его книге «Основные понятия теории вероятностей» (1936).

В результате, появившаяся некогда из игры теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из .

2.Основные теоретические сведения

Теория вероятностей - раздел математики , изучающий закономерности случайных явлений : , , их свойства и операции над ними.

Вероятностью называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов.

Также вероятность случайного события А это число Р(А), к которому приближается относительная частота этого события в длинной серии экспериментов.

Вероятность любого события заключена между нулем и единицей. Вероятность равна нулю, если благоприятных исходов нет вовсе (невозможное событие), а единице, если все исходы благоприятны (достоверное событие).

Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого опыта следует:

1. найти число N всех возможных исходов данного опыта;
2. найти число N(A) тех исходов опыта, в которых наступает событие А;
3. найти частное N(A)/N; оно и будет равно вероятности события А.

Однако иногда встречаются испытания с бесконечным числом исходов. Такая ситуация возникает в некоторых геометрических задачах, связанных со случайным выбором точки на прямой, плоскости или в пространстве. В таком случае говорят о геометрической вероятности.

Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества В точек на прямой, плоскости или в пространстве - это отношение мер данных объектов.

Задача 1 : найдите вероятность того, что точка Х ближе к точке N, чем к M.

Решение: пусть точка О – середина отрезка MN. Наше событие наступит тогда, когда точка Х лежит внутри отрезка ON.

Тогда .

Ответ: 0.5

Таким образом, вероятность может быть вычислена как отношение длин двух отрезков.

2. Выберем на географической карте мира случайную точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется в России? Очевидно, что для ответа на вопрос нужно знать, какую часть всей площади карты составляет площадь России. Отношение этих двух площадей и даст искомую вероятность.

Р(А) = S(A)/S(B) , где Р – вероятность, а S – площадь.

Задача 2 : внутри прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 4, 6, 10 см, наудачу выбирается точка М. Какова вероятность того, что она окажется внутри данного куба, ребро которого 3 см.

Решение: пусть событие Е – точка оказалась внутри куба с ребром, равным 3 см. Будем считать, что исходы испытания распределены равномерно. Тогда вероятность наступления события Е пропорциональна мере этого куба и равна P (E) = U куба / U параллелепипеда . Но объем куба равен 27 см 3 , а объем параллелепипеда – 240 см 3 . Следовательно, Р (Е) = 27/ 240 ≈ 0.113

Ответ: 0.113

! Типичная ошибка при решении задач на геометрическую вероятность – несоответствие размерностей. Часто при вычислении геометрической вероятности длину делят на площадь или площадь на объем. В таких случаях полезно проверять полученную формулу для вероятности на «безразмерность».

3.Задачи на нахождение геометрической вероятности

Задача 3 : точку наудачу бросают в квадрат, сторона которого равна 1. Спрашивается, какова вероятность события, которое состоит в том, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем ? (рис.1)

Решение: точка удалена от границы квадрата не более чем на , если она принадлежит внутреннему квадрату со стороной равной 1 – 2* = .

Чтобы найти площадь фигуры, составляющей разницу между внутренним и внешним квадратами (G), нужно из площади всей фигуры (F) вычесть площадь внутреннего квадрата со стороной .

Тогда вероятность того, что точка попала в фигуру G, равна

Ответ: 0.75

Задача 4: единичный интервал делится на три части двумя случайными точками. Чему равна вероятность того, что из получившихся отрезков можно построить треугольник?

Решение: необходимо найти вероятность того, что ни один из отрезков не превосходит суммы двух других. Для того, чтобы из трех отрезков можно было построить треугольник, точка, представляющая отрезки, должна лежать внутри треугольника, который получается соединением середин противоположных сторон треугольника (рис.2). Он имеет площадь, равную одной четверти большого треугольника, и, следовательно, вероятность равна одной четвертой.

Ответ: 0.25

Задача 5 : два студента условились встретиться в определенном месте между 12-ю и 13-ю часами. Пришедший первым ждет другого не больше 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча произойдет.

Решение: пусть x - момент времени прихода первого студента, y - момент времени прихода второго студента. Тогда x, y € (определение того, что встреча произойдет между 12 и 13 часами, то есть в промежуток времени в 60 минут) - задает область G (рис.3). |x-y| ≤ 20 (определение того, что студент, пришедший первым, ждет второго не больше 20 минут) - задает область g. Тогда области, задаваемые неравенствами, будут выглядеть следующим образом (рис.2). Вероятность можно будет найти как отношение площадей двух областей g и G. Р(A)=60*60/(60*60-40*40) = 5/9.

Ответ: 5/9

Задача 6: согласно правилам дорожного движения, пешеход может перейти улицу в неустановленном месте, если в пределах видимости нет пешеходных переходов. В городе Миргороде расстояние между пешеходными переходами на улице Солнечной равно 1 км. Пешеход переходит улицу Солнечную где-то между двумя переходами. Он может видеть знак перехода не дальше чем за 100 м от себя. Найдите вероятность того, что пешеход не нарушает правила.

Решение: воспользуемся геометрическим методом. Расположим числовую прямую так, что участок улицы между переходами окажется отрезком . Пусть пешеход подходит к улице в некоторой точке с координатой Х. Пешеход не нарушает правила, если он находится на расстоянии более чем 0,1 км от каждого перехода, т.е. 0,1 .

Ответ: 0.8

4.Проблемная задача

Задача 7 : в одном из лесных хозяйств Брянской области, представляющем собой прямоугольник a*b гектаров, вспыхнул пожар. Огнем охвачена часть леса, которая является кругом с радиусом, равным r. Найдите вероятность того, что жидкость, распыляемая пролетающим над лесом самолетом, попадет в область пожара.

Решение: Площадь леса равна а*b, площадь горящей области – r 2 . Тогда Р(А) = r 2 / а*b

Ответ: r 2 / а*b

Таким образом, знакомство с теорией вероятности помогло мне в решении проблемы. После составления и решения задачи 7, я могу сказать, что можно найти много вариантов практического применения геометрической вероятности.

Заключение

В результате проделанной работы я изучила новый для меня раздел математики «геометрическая вероятность» путем ознакомления с разнообразными литературными источниками, анализа информации и, непосредственно, решения задач. Применила полученные знания для решения интересующей меня проблемы. В дальнейшем можно продолжить изучение данной темы, т.к. существует множество заданий более высокого уровня сложности, например «Задача Сильвестра».

Некоторые аспекты данной работы могут быть использованы для подготовки к ГИА по математике, факультативным занятиям по теме «Геометрическая вероятность», подготовке к олимпиадам. Исследовательская работа является наглядным примером, демонстрирующим, что более глубокое изучение тем, не освещенных достаточно подробно в главах стандартного учебника, может быть не только интересным и познавательным, но также служить для решения каких-либо практических задач или нестандартных вопросов.

Литература

1. Е.А.Бунимович, В.А.Булычев «Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы» - Москва, «Педагогический университет «Первое сентября», 2005
2. М.Кендаль, П.Моран «Геометрические вероятности» - Москва, «Наука», 1972
3. Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, Т.В.Колесникова, Л.О.Рослова – «Алгебра. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе» - Москва, «Просвещение», 2011
4. А.Г.Мордкович, П.В.Семенов «Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень. Учебник, часть 1. 11 класс» - Москва, «Мнемозина», 2009
5. А.П.Савин «Энциклопедический словарь юного математика» - Москва, «Педагогика», 1989
6. З.А.Скопец «Дополнительные главы по курсу математики» - Москва, «Просвещение», 1974
7. Л.А.Трофимова «План-конспект «Геометрическая вероятность»
8. А.Шень «Вероятность: примеры и задачи» - Москва, «Издательство МЦНМО», 2007
9. http://www.historydata.ru

Приложение

Задача 8: на окружности радиуса R случайно выбираются две точки. С какой вероятностью расстояние между ними будет меньше R?

Решение: расстояние меньше R значит, что хорда, соединяющая эти две точки, должна быть меньше R или меньше стороны вписанного шестиугольника. Зная центральный угол, равный 72˚ , найдем длину дуги, заключенной между двумя точками при хорде меньше радиуса. L = 72˚ * 2 r / 360. P (A) = (72˚ * 2 r / 360) / 2 r = 0.2

Ответ: 0.2

Задача 9 : на отрезке АВ длины l независимо друг от друга выбираются наудачу две точки M и N. Какова вероятность того, что точка М окажется ближе к точке А, чем точка N?

Решение : пусть АМ = х, АN = y. Рассматриваемому событию будет благоприятствовать лишь те точки, которые удовлетворяют условию у>x. Множество всех возможных исходов испытания, благоприятствующих рассматриваемому событию, геометрически изображается точками заштрихованного треугольника, т.к. координаты всех точек этого треугольника связаны соотношением у>x. Следовательно, искомая вероятность равна 0.5.

Ответ: 0.5

Задача 10: из треугольника АВС случайным образом выбирается точка Х. Найти вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника (рис.4).

Решение: средние линии треугольника разбивают его на 4 равновеликих треугольников. Значит,

Вероятность того, что точка Х принадлежит треугольнику KMN, равна:

Ответ: 0.25

Задача 11: Буратино посадил в центре прямоугольного листа бумаги размером 20 см на 25 см круглую кляксу радиусом 1 см. Сразу после этого Буратино посадил еще одну такую же кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы не соприкасаются.

Решение: первая клякса, радиусом 1 см, закрашена красным цветом (рис.5). Контурами показаны возможные расположения второй кляксы - в случае касания первой и второй.

Видим, что кляксы касаются тогда, когда вторая попадет в кольцо, образованное окружностью радиусом 3 см и окружностью радиусом 1 см. Найдем площадь кольца: S кольца = *3 2 - *1 2 = 8 см 2 . Благоприятным считаем исход, когда кляксы не имеют общих точек, либо пересекаются.

В этом случае область для попадания - прямоугольник с вырезанным кольцом. Найдем площадь этой фигуры S1: S1 = 20*25 - 8 = 500-8

Вероятность Р = S1 / S прямоугольника = (500-8*3,14) / 500 ≈ 0,95

Ответ: 0,95

Задача 12: 10 % поверхности шара (по площади) выкрашено в чёрный цвет, остальные 90% белые. Доказать, что можно вписать в шар куб так, чтобы все вершины попали в белые точки.

Решение : впишем куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 в шар случайным образом . Тогда вероятность того, что данная вершина (например, вершина А) окажется чёрной, составляет 1/10. Вероятность того, что хотя бы одна их восьми вершин окажется чёрной, не превосходит 8/10 (объединение восьми событий вероятности 1/10). Значит, бывают случаи (они составляют по крайне мере 2/10 всех вариантов), когда все вершины белые.

Задача Сильвестра

Несколько более сложная задача носит название задачи Сильвестра. Она состоит в нахождении вероятности того, что четыре точки A, B, C, D, взятые случайно внутри выпуклой области, составляют выпуклый четырехугольник; это означает, что ни одна из точек не попадает в треугольник, образованный тремя другими.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него:

Является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет за собой появление события А.

Геометрическое определение вероятности

Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы - это отдельные точки G, любое событие - это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G. Можно считать, что все точки G «равноправны» и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:
,
где m(G), m(A) - геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и события А.

Пример. На плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной 2d, расстояние между осевыми линиями которых равно 2D, наудачу брошен круг радиуса r (). Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.

Решение. В качестве элементарного исхода этого испытания будем считать расстояние x от центра круга до осевой линии ближайшей к кругу полосы. Тогда все пространство элементарных исходов - это отрезок . Пересечение круга с полосой произойдет в том случае, если его центр попадет в полосу, т.е. , или будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус, т.е. .

Для искомой вероятности получаем: .

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу практически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота А определяется формулой:

(2) где m-число появлений события, n-общее число испытаний . Сопоставляя определение вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту - после опыта.

Пример 2 . Из 80 случайно выбранных сотрудников 3 человека имеют серьезные нарушения сердечной деятельности. Относительная частота появления людей с больным сердцем

В качестве статической вероятности принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (статистическим определением вероятности). Число, к которому стремится устойчивая относительная частота, называется статистической вероятностью этого события.

Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А — попадание при первом выстреле, В — попадание при втором выстреле, то А + В — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события А и B — несовместные, то А + В — событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С. Пусть события A и В — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие A, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В). Доказательство

С л е д с т в и е. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (A 1 + A 2 + ... + A n) = Р (A 1) + Р (A 2) + ... + Р (A n).