Довольно часто при изучении случайных величин приходится иметь дело с двумя, тремя и даже большим числом случайных величин. Например, двумерной случайной величиной $\left(X,\ Y\right)$ будет описываться точка попадания снаряда, где случайные величины $X,\ Y$ абсцисса и ордината соответственно. Успеваемость наудачу взятого студента в период сессии характеризуется $n$-мерной случайной величиной $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$, где случайные величины $X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n$ - это оценки, проставленные в зачетной книжке по различным дисциплинам.

Набор $n$ случайных величин $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$ называется случайным вектором . Мы ограничимся рассмотрением случая $\left(X,\ Y\right)$.

Пусть $X$ - дискретная случайная величина с возможными значениями $x_1,x_2,\ \dots ,\ x_n$, а $Y$ - дискретная случайная величина с возможными значениями $y_1,y_2,\ \dots ,\ y_n$.

Тогда дискретная двумерная случайная величина $\left(X,\ Y\right)$ может принимать значения $\left(x_i,\ y_j\right)$ с вероятностями $p_{ij}=P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right)=P\left(X=x_i\right)P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$. Здесь $P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$ - это условная вероятность того, что случайная величина $Y$ примет значение $y_j$ при условии, что случайная величина $X$ приняла значение $x_i$.

Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение $x_i$, равна $p_i=\sum_j{p_{ij}}$. Вероятность того, что случайная величина $Y$ примет значение $y_j$, равна $q_j=\sum_i{p_{ij}}$.

$$P\left(X=x_i|Y=y_j\right)={{P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right)}\over {P\left(Y=y_j\right)}}={{p_{ij}}\over {q_j}}.$$

$$P\left(Y=y_j|X=x_i\right)={{P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right)}\over {P\left(X=x_i\right)}}={{p_{ij}}\over {p_i}}.$$

Пример 1 . Задано распределение двумерной случайной величины:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X\backslash Y & 2 & 3 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end{array}$

Определим законы распределения случайных величин $X$ и $Y$. Найдем условные распределения случайной величины $X$ при условии $Y=2$ и случайной величины $Y$ при условии $X=0$.

Заполним следующую таблицу:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X\backslash Y & 2 & 3 & p_i & p_{ij}/q_1 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 & 0,4 & 0,29 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 & 0,41 & 0,54 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 & 0,19 & 0,17 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 & 1 & \\
\hline
p_{ij}/p_2 & 0,68 & 0,32 & & \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end{array}$

Поясним, как заполняется таблица. Значения первых трех столбцов первых четырех строк взяты из условия. Сумму чисел $2$-го и $3$-го столбцов $2$-й ($3$-й) строки укажем в $4$-м столбце $2$-й ($3$-й) строки. Сумму чисел $2$-го и $3$-го столбцов $4$-й строки укажем в $4$-м столбце $4$-й строки.

Сумму чисел $2$-й, $3$-й и $4$-й строк $2$-го ($3$-го) столбца запишем в $5$-й строке $2$-го ($3$-го) столбца. Каждое число $2$-го столбца делим на $q_1=0,52$, результат округляем до двух цифр после запятой и пишем в $5$-м столбце. Числа из $2$-го и $3$-го столбцов $3$-й строки делим на $p_2=0,41$, результат округляем до двух цифр после запятой и пишем в последней строке.

Тогда закон распределения случайной величины $X$ имеет следующий вид.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,41 & 0,19 \\
\hline
\end{array}$

Закон распределения случайной величины $Y$.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
Y & 2 & 3 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 \\
\hline
\end{array}$

Условное распределение случайной величины $X$ при условии $Y=2$ имеет следующий вид.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_{ij}/q_1 & 0,29 & 0,54 & 0,17 \\
\hline
\end{array}$

Условное распределение случайной величины $Y$ при условии $X=0$ имеет следующий вид.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
Y & 2 & 3 \\
\hline
p_{ij}/p_2 & 0,68 & 0,32 \\
\hline
\end{array}$

Пример 2 . Имеем шесть карандашей, среди которых два красных. Раскладываем карандаши в две коробки. В первую кладут $2$ штуки, а во вторую тоже два. $X$ - количество красных карандашей в первой коробке, a $Y$ - во второй. Написать закон распределения системы случайных величин $(X,\ Y)$.

Пусть дискретная случайная величина $X$ - количество красных карандашей в первой коробке, а дискретная случайная величина $Y$ - количество красных карандашей во второй коробке. Возможные значения случайных величин $X,\ Y$ соответственно $X:0,\ 1,\ 2$, $Y:0,\ 1,\ 2$. Тогда дискретная двумерная случайная величина $\left(X,\ Y\right)$ может принимать значения $\left(x,\ y\right)$ с вероятностями $P=P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)\times P\left(Y=y|X=x\right)$, где $P\left(Y=y|X=x\right)$ - условная вероятность того, что случайная величина $Y$ примет значение $y$ при условии, что случайная величина $X$ приняла значение $x$. Изобразим соответствие между значениями $\left(x,\ y\right)$ и вероятностями $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right)\right)$ в виде следующей таблицы.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X\backslash Y & 0 & 1 & 2 \\
\hline
0 & {{1}\over {15}} & {{4}\over {15}} & {{1}\over {15}} \\
\hline
1 & {{4}\over {15}} & {{4}\over {15}} & 0 \\
\hline
2 & {{1}\over {15}} & 0 & 0 \\
\hline
\end{array}$

По строкам такой таблицы указываются значения $X$, а по столбцам значения $Y$, тогда вероятности $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right)\right)$ указываются на пересечении соответствующей строки и столбца. Рассчитаем вероятности, используя классическое определение вероятности и теорему произведения вероятностей зависимых событий.

$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=0\right)\right)={{C^2_4}\over {C^2_6}}\cdot {{C^2_2}\over {C^2_4}}={{6}\over {15}}\cdot {{1}\over {6}}={{1}\over {15}};$$

$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=1\right)\right)={{C^2_4}\over {C^2_6}}\cdot {{C^1_2\cdot C^1_2}\over {C^2_4}}={{6}\over {15}}\cdot {{2\cdot 2}\over {6}}={{4}\over {15}};$$

$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=2\right)\right)={{C^2_4}\over {C^2_6}}\cdot {{C^2_2}\over {C^2_4}}={{6}\over {15}}\cdot {{1}\over {6}}={{1}\over {15}};$$

$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=0\right)\right)={{C^1_2\cdot C^1_4}\over {C^2_6}}\cdot {{C^2_3}\over {C^2_4}}={{2\cdot 4}\over {15}}\cdot {{3}\over {6}}={{4}\over {15}};$$

$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=1\right)\right)={{C^1_2\cdot C^1_4}\over {C^2_6}}\cdot {{C^1_1\cdot C^1_3}\over {C^2_4}}={{2\cdot 4}\over {15}}\cdot {{1\cdot 3}\over {6}}={{4}\over {15}};$$

$$P\left(\left(X=2\right)\left(Y=0\right)\right)={{C^2_2}\over {C^2_6}}\cdot {{C^2_4}\over {C^2_4}}={{1}\over {15}}\cdot 1={{1}\over {15}}.$$

Поскольку в законе распределения (полученной таблице) все множество событий образует полную группу событий, то сумма вероятностей должна быть равна 1. Проверим это:

$$\sum_{i,\ j}{p_{ij}}={{1}\over {15}}+{{4}\over {15}}+{{1}\over {15}}+{{4}\over {15}}+{{4}\over {15}}+{{1}\over {15}}=1.$$

Функция распределения двумерной случайной величины

Функцией распределения двумерной случайной величины $\left(X,\ Y\right)$ называется функция $F\left(x,\ y\right)$, которая для любых действительных чисел $x$ и $y$ равна вероятности совместного выполнения двух событий $\left\{X < x\right\}$ и $\left\{Y < y\right\}$. Таким образом, по определению

$$F\left(x,\ y\right)=P\left\{X < x,\ Y < y\right\}.$$

Для дискретной двумерной случайной величины функция распределения находится путем суммирования всех вероятностей $p_{ij}$, для которых $x_i < x,\ y_j < y$, то есть

$$F\left(x,\ y\right)=\sum_{x_i < x}{\sum_{y_j < y}{p_{ij}}}.$$

Свойства функции распределения двумерной случайной величины.

1 . Функция распределения $F\left(x,\ y\right)$ является ограниченной, то есть $0\le F\left(x,\ y\right)\le 1$.

2 . $F\left(x,\ y\right)$ не убывающая для каждого из своих аргументов при фиксированном другом, то есть $F\left(x_2,\ y\right)\ge F\left(x_1,\ y\right)$ при $x_2>x_1$, $F\left(x,\ y_2\right)\ge F\left(x,\ y_1\right)$ при $y_2>y_1$.

3 . Если хотя бы один из аргументов принимает значение $-\infty $, то функция распределения будет равна нулю, то есть $F\left(-\infty ,\ y\right)=F\left(x,\ -\infty \right),\ F\left(-\infty ,\ -\infty \right)=0$.

4 . Если оба аргумента принимают значение $+\infty $, то функция распределения будет равна $1$, то есть $F\left(+\infty ,\ +\infty \right)=1$.

5 . В том случае, когда ровно один из аргументов принимает значение $+\infty $, функция распределения $F\left(x,\ y\right)$ становится функцией распределения случайной величины, соответствующей другому элементу, то есть $F\left(x,\ +\infty \right)=F_1\left(x\right)=F_X\left(x\right),\ F\left(+\infty ,\ y\right)=F_y\left(y\right)=F_Y\left(y\right)$.

6 . $F\left(x,\ y\right)$ является непрерывной слева для каждого из своих аргументов, то есть

$${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} F\left(x,\ y\right)\ }=F\left(x_0,\ y\right),\ {\mathop{lim}_{y\to y_0-0} F\left(x,\ y\right)\ }=F\left(x,\ y_0\right).$$

Пример 3 . Пусть дискретная двумерная случайная величина $\left(X,\ Y\right)$ задана рядом распределения.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X\backslash Y & 0 & 1 \\
\hline
0 & {{1}\over {6}} & {{2}\over {6}} \\
\hline
1 & {{2}\over {6}} & {{1}\over {6}} \\
\hline
\end{array}$

Тогда функция распределения:

$F(x,y)=\left\{\begin{matrix}
0,\ при\ x\le 0,\ y\le 0 \\
0,\ при\ x\le 0,\ 0 < y\le 1 \\
0,\ при\ x\le 0,\ y>1 \\
0,\ при\ 0 < x\le 1,\ y\le 0 \\
{{1}\over {6}},\ при\ 0 < x\le 1,\ 0 < y\le 1 \\
{{1}\over {6}}+{{2}\over {6}}={{1}\over {2}},\ при\ 0 < x\le 1,\ y>1 \\
0,\ при\ x>1,\ y\le 0 \\
{{1}\over {6}}+{{2}\over {6}}={{1}\over {2}},\ при\ x>1,\ 0 < y\le 1 \\
{{1}\over {6}}+{{2}\over {6}}+{{2}\over {6}}+{{1}\over {6}}=1,\ при\ x>1,\ y>1 \\
\end{matrix}\right.$

Определение 2.7. это пара случайных чисел (X, Y), или точка на координатной плоскости (рис. 2.11).

Рис. 2.11.

Двумерная случайная величина - это частный случай многомерной случайной величины, или случайного вектора.

Определение 2.8. Случайный вектор - это случайная функция?,(/) с конечным множеством возможных значений аргумента t, значение которой при любом значении t является случайной величиной.

Двумерная случайная величина называется непрерывной, если ее координаты непрерывны, и дискретной, если ее координаты дискретны.

Задать закон распределения двумерных случайных величин - это значит установить соответствие между ее возможными значениями и вероятностью этих значений. По способам задания случайные величины делятся на непрерывные и дискретные, хотя есть общие способы задания закона распределения любой СВ.

Дискретная двумерная случайная величина

Дискретная двумерная случайная величина задается с помощью таблицы распределений (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Таблица распределения (совместное распределение) СВ (X , У)

Элементы таблицы определяются формулой

Свойства элементов таблицы распределения:

Распределение по каждой координате называется одномерным или маргинальным:

р 1> = Р(Х = .г,) - маргинальное распределение СВ X ;

р^ 2) = P(Y= у,) - маргинальное распределение СВ У.

Связь совместного распределения СВ X и У, заданного множеством вероятностей [р {) }, i = 1,..., n,j = 1,..., т (таблицей распределения), и маргинального распределения.

Аналогично для СВ Ур- 2) = X р, г

Задача 2.14. Дано:

Непрерывная двумерная случайная величина

/(х, y)dxdy - элемент вероятности для двумерной случайной величины (X, У) - вероятность попадания случайной величины (X, У) в прямоугольник со сторонами cbc, dy при dx, dy -* 0:

f(x, у) - плотность распределения двумерной случайной величины (X, У). Заданием /(х, у) мы даем полную информацию о распределении двумерной случайной величины.

Маргинальные распределения задаются следующим образом: по X - плотностью распределения СВ X/,(х); по Y - плотностью распределения СВ Уf>(y).

Задание закона распределения двумерной случайной величины функцией распределения

Универсальным способом задания закона распределения для дискретной или непрерывной двумерной случайной величины является функция распределения F(x, у).

Определение 2.9. Функция распределения F(x, у) - вероятность совместного появления событий {Ху}, т.е. F(x 0 ,y n) = = Р(Х у), брошенной на координатную плоскость, попасть в бесконечный квадрант с вершиной в точке М(х 0 , у и) (в заштрихованную на рис. 2.12 область).

Рис. 2.12. Иллюстрация функции распределения F(х, у)

Свойства функции F(x, у)

• 1) 0 1;
• 2) F(-oo, -оо) = F(x, -оо) = F(-oo, у) = 0; F(оо, оо) = 1;
• 3) F(x, у) - неубывающая по каждому аргументу;
• 4) F(x, у) - непрерывна слева и снизу;
• 5) согласованность распределений:

F(x, X: F(x, оо) = F,(x); F(y, оо) - маргинальное распределение по Y F(оо, у) = F 2 (y). Связь /(х, у) с F(x, у):

Связь совместной плотности с маргинальной. Дана f(x, у). Получим маргинальные плотности распределения f(x),f 2 {y)".

Случай независимых координат двумерной случайной величины

Определение 2.10. СВ X и Yнезависимы (нз), если независимы любые события, связанные с каждой из этих СВ. Из определения нз СВ следует:

• 1 )Pij = p X) pf
• 2 )F(x,y) = F l (x)F 2 (y).

Оказывается, что для независимых СВ X и Y выполнено и

3 )f(x,y) = J(x)f,(y).

Докажем, что для независимых СВ X и Y 2) 3). Доказательство, а) Пусть выполнено 2), т.е.

в то же время F(x,y) = f J f(u,v)dudv, откуда и следует 3);

б) пусть теперь выполнено 3), тогда

т.е. верно 2).

Рассмотрим задачи.

Задача 2.15. Распределение задано следующей таблицей:

Строим маргинальные распределения:

Получаем Р(Х = 3, У = 4) = 0,17 * Р(Х = 3)Р(У = 4) = 0,1485 => => СВ X и Узависимы.

Функция распределения:

Задача 2.16. Распределение задано следующей таблицей:

Получаем P tl = 0,2 0,3 = 0,06; Р 12 = 0,2 ? 0,7 = 0,14; P 2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; Р 22 - 0,8 0,7 = 0,56 => СВ X и Y нз.

Задача 2.17. Дана /(х, у) = 1/я ехр| -0,5(д" + 2ху + 5г/ 2)]. Найти А(х) и /Ау)-

Решение

(досчитайте самостоятельно).

Пусть дана двумерная случайная величина $(X,Y)$.

Определение 1

Законом распределения двумерной случайной величины $(X,Y)$ - называется множество возможных пар чисел $(x_i,\ y_j)$ (где $x_i \epsilon X,\ y_j \epsilon Y$) и их вероятностей $p_{ij}$.

Чаще всего закон распределения двумерной случайной величины записывается в виде таблицы (Таблица 1).

Рисунок 1. Закон распределения двумерной случайной величины.

Вспомним теперь теорему о сложении вероятностей независимых событий.

Теорема 1

Вероятность суммы конечного числа независимых событий ${\ A}_1$, ${\ A}_2$, ... ,$\ {\ A}_n$ вычисляется по формуле:

Пользуясь этой формулой можно получить законы распределения для каждой компоненты двумерной случайной величины, то есть:

Отсюда будет следовать, что сумма всех вероятностей двумерной системы имеет следующий вид:

Рассмотрим подробно (поэтапно) задачу, связанную с понятием закона распределения двумерной случайной величины.

Пример 1

Закон распределения двумерной случайной величины задан следующей таблицей:

Рисунок 2.

Найти законы распределения случайных величин $X,\ Y$, $X+Y$ и проверить в каждом случае выполнение равенства полной суммы вероятностей единице.

1. Найдем сначала распределение случайной величины $X$. Случайная величина $X$ может принимать значения $x_1=2,$ $x_2=3$, $x_3=5$. Для нахождения распределения будем пользоваться теоремой 1.

Найдем вначале сумму вероятностей $x_1$ следующим образом:

Рисунок 3.

Аналогично найдем $P\left(x_2\right)$ и $P\left(x_3\right)$:

\ \

Рисунок 4.

1. Найдем теперь распределение случайной величины $Y$. Случайная величина $Y$ может принимать значения $x_1=1,$ $x_2=3$, $x_3=4$. Для нахождения распределения будем пользоваться теоремой 1.

Найдем вначале сумму вероятностей $y_1$ следующим образом:

Рисунок 5.

Аналогично найдем $P\left(y_2\right)$ и $P\left(y_3\right)$:

\ \

Значит, закон распределения величины $X$ имеет следующий вид:

Рисунок 6.

Проверим выполнение равенства полной суммы вероятностей:

1. Осталось найти закон распределения случайной величины $X+Y$.

Обозначим её для удобства через $Z$: $Z=X+Y$.

Вначале найдем, какие значения может принимать данная величина. Для этого будем попарно складывать значения величин $X$ и $Y$. Получим следующие значения: 3, 4, 6, 5, 6, 8, 6, 7, 9. Теперь, отбрасывая совпавшие величины, получим, что случайная величина $X+Y$ может принимать значения $z_1=3,\ z_2=4,\ z_3=5,\ z_4=6,\ z_5=7,\ z_6=8,\ z_7=9.\ $

Найдем для начала $P(z_1)$. Так как значение $z_1$ единично, то оно находится следующим образом:

Рисунок 7.

Аналогично находятся се вероятности, кроме $P(z_4)$:

Найдем теперь $P(z_4)$ следующим образом:

Рисунок 8.

Значит, закон распределения величины $Z$ имеет следующий вид:

Рисунок 9.

Проверим выполнение равенства полной суммы вероятностей:

двумерный дискретный распределение случайный

Зачастую результат опыта описывается несколькими случайными величинами: . Например, погоду в данном месте в определенное время суток можно охарактеризовать следующими случайными величинами: Х 1 - температура, Х 2 - давление, Х 3 - влажность воздуха, Х 4 - скорость ветра.

В этом случае говорят о многомерной случайной величине или о системе случайных величин.

Рассмотрим двумерную случайную величину, возможные значения которой есть пары чисел. Геометрически двумерную случайную величину можно истолковать как случайную точку на плоскости.

Если составляющие Х и Y - дискретные случайные величины, то - дискретная двумерная случайная величина, а если Х и Y - непрерывные, то - непрерывная двумерная случайная величина.

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения двумерной дискретной случайной величины может быть задан в виде таблицы с двойным входом (см. таблица 6.1), где - вероятность того, что составляющая Х приняла значение x i , а составляющая Y - значение y j .

Таблица 6.1.1.

Так как события, составляют полную группу попарно несовместных событий, то сумма вероятностей равна 1, т.е.

Из таблицы 6.1 можно найти законы распределения одномерных составляющих Х и Y .

Пример 6.1.1 . Найти законы распределения составляющих Х и Y, если задано распределение двумерной случайной величины в виде таблицы 6.1.2.

Таблица 6.1.2.

Если зафиксировать значение одного из аргументов, например, то полученное распределение величины Х называется условным распределением. Аналогично определяется условное распределение Y .

Пример 6.1.2 . По распределению двумерной случайной величины, заданной табл. 6.1.2, найти: а) условный закон распределения составляющей Х при условии; б) условный закон распределения Y при условии, что.

Решение. Условные вероятности составляющих Х и Y вычисляются по формулам

Условный закон распределения Х при условии имеет вид

Контроль: .

Закон распределения двумерной случайной величины можно задать в виде функции распределения , определяющей для каждой пары чисел вероятность того, что Х примет значение, меньшее х , и при этом Y примет значение, меньшее y :

Геометрически функция означает вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрат с вершиной в точке (рис. 6.1.1).

Отметим свойства.

• 1. Область значений функции - , т.е. .
• 2. Функция - неубывающая функция по каждому аргументу.
• 3. Имеют место предельные соотношения:

При функция распределения системы становится равной функции распределения составляющей Х , т.е. .

Аналогично, .

Зная, можно найти вероятность попадания случайной точки в пределы прямоугольника ABCD.

А именно,

Пример 6.1.3 . Двумерная дискретная случайная величина задана таблицей распределения

Найти функцию распределения.

Решение. Значение в случае дискретных составляющих Х и Y находится суммированием всех вероятностей с индексами i и j , для которых, . Тогда, если и, то (события и - невозможны). Аналогично получаем:

если и, то;

если и, то;

если и, то;

если и, то;

если и, то;

если и, то;

если и, то;

если и, то;

если и, то.

Полученные результаты оформим в виде таблицы (6.1.3) значений:

Для двумерной непрерывной случайной величины вводится понятие плотности вероятности

Геометрическая плотность вероятности представляет собой поверхность распределения в пространстве

Двумерная плотность вероятности обладает следующими свойствами:

3. Функция распределения может быть выражена через по формуле

4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в область равна

5. В соответствии со свойством (4) функции имеют место формулы:

Пример 6.1.4. Задана функция распределения двумерной случайной величины

Двумерной называют случайную величину (X , Y ), возможные значения которой есть пары чисел (x, у ). Составляющие X и Y , рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Двумерную величину геометрически можно истолковать как случайную точку M (Х ; Y ) на плоскости xOy либо как случайный вектор OM .

Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны.

Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины может быть задан: а) в виде таблицы с двойным входом, содержащей возможные значения и их вероятности; б) аналитически, например в виде функции распределения.

Функцией распределения вероятностей двумерной случайной величины называют функцию F(x, у) , определяющую для каждой пары чисел (x, у) вероятность того, что X примет значение, меньшее x, и при этом Y примет значение, меньшее y :

F(x, у) = Р(Х < x, Y < y).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х, у) есть вероятность того, что случайная точка (X, Y ) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (x,y) , расположенный левее и ниже этой вершины.

Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».

Функция распределения обладает следующими свойствами:

Свойство 1 . Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству

0 ≤ F (x, у) ≤ 1.

Свойство 2 . Функция распределения есть неубывающая функция по каждому аргументу :

F(x 2 , y) ≥ F(x 1 , y), если x 2 > x 1 ,

F(x, y 2) ≥ F(x, y 1), если y 2 > y 1 .

Свойство 3 . Имеют место предельные соотношения :

1) F(–∞, y) = 0,

3) F(–∞, –∞) = 0,

2) F(x, –∞) = 0,

4) F(∞, ∞) = 1.

Свойство 4 . а) При у =∞ функция распределения системы становится функцией распределения составляющей X :

F(x, ∞) = F 1 (x).

б) При x = ∞ функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Y :

F(∞, y) = F 2 (y).

Используя функцию распределения, можно найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник x 1 < X < x 2 , y 1 < Y < у 2 :

P(x 1 < X < x 2 , y 1 < Y < у 2) = – .

Плотностью совместного распределения вероятностей (двумерной плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной величины называют вторую смешанную производную от функции распределения:

Иногда вместо термина «двумерная плотность вероятности» используют термин «дифференциальная функция системы».

Плотность совместного распределения можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами Dx и Dy к площади этого прямоугольника, когда обе его стороны стремятся к нулю; геометрически ее можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения .

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения по формуле

Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в область D определяется равенством

Двумерная плотность вероятности обладает следующими свойствами:

Свойство 1 . Двумерная плотность вероятности неотрицательна :

f(x,y) ≥ 0.

Свойство 2 . Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности вероятности равен единице :

В частности, если все возможные значения (X, У) принадлежат конечной области D, то

226. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:

Найти законы распределения составляющих.

228. Задана функция распределения двумерной случайной величины

Найти вероятность попадания случайной точки (X, Y x = 0, x = p/4, y = p/6, y = p/3.

229. Найти вероятность попадания случайной точки (X, Y ) в прямоугольник, ограниченный прямыми x = 1, x = 2, y = 3, y = 5, если известна функция распределения

230. Задана функция распределения двумерной случайной величины

Найти двумерную плотность вероятности системы.

231. В круге x 2 + y 2 ≤ R 2 двумерная плотность вероятности ; вне круга f(x, y)= 0. Найти: а) постоянную C ; б) вероятность попадания случайной точки (X, Y ) в круг радиуса r = 1 с центром в начале координат, если R = 2.

232. В первом квадранте задана функция распределения системы двух случайных величин F(x, y) = 1 + 2 - x – 2 - y + 2 - x- y . Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) вероятность попадания случайной точки (X, Y ) в треугольник с вершинами A (1; 3), B (3; 3), C (2; 8).

8.2. Условные законы распределения вероятностей составляющих
дискретной двумерной случайной величины

Пусть составляющие X и Y дискретны и имеют соответственно следующие возможные значения: x 1 , x 2 , …, x n ; y 1 , y 2 , …, y m .

Условным распределением составляющей X при Y=y j (j сохраняет одно и то же значение при всех возможных значениях X) называют совокупность условных вероятностей

p(x 1 |y j), p(x 2 |y j), …, p(x n |y j).

Аналогично определяется условное распределение Y.

Условные вероятности составляющих X и Y вычисляют соответственно по формулам

Для контроля вычислений целесообразно убедиться, что сумма вероятностей условного распределения равна единице.

233. Задана дискретная двумерная случайная величина (X, Y ):

Найти: а) условный закон распределения X при условии, что Y =10; б) условный закон распределения Y при условии, что X =6.

8.3. Отыскание плотностей и условных законов распределения
составляющих непрерывной двумерной случайной величины

Плотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу с бесконечными пределами от плотности совместного распределения системы, причем переменная интегрирования соответствует другой составляющей:

Здесь предполагается, что возможные значения каждой из составляющих принадлежат всей числовой оси; если же возможные значения принадлежат конечному интервалу, то в качестве пределов интегрирования принимают соответствующие конечные числа.

Условной плотностью распределения составляющей X при заданном значении Y = y называют отношение плотности совместного распределения системы к плотности распределения составляющей Y :

Аналогично определяется условная плотность распределения составляющей Y :

Если условные плотности распределения случайных величин X и Y равны их безусловным плотностям, то такие величины независимы.

Равномерным называют распределение двумерной непрерывной случайной величины (X, Y ), если в области, которой принадлежат все возможные значения (x, у ), плотность совместного распределения вероятностей сохраняет постоянное значение.

235. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y)

Найти: а) плотности распределения составляющих; б) условные плотности распределения, составляющих.

236. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y )

Найти: а) постоянный множитель C ; б) плотности распределения составляющих; в) условные плотности распределения составляющих.

237. Непрерывная двумерная случайная величина (X, У ) распределена равномерно внутри прямоугольника с центром симметрии в начале координат и сторонами 2а и 2b, параллельными координатным осям. Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих.

238. Непрерывная двумерная случайная величина (X, У ) равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами O (0; 0), А (0; 8), В (8;0). Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности и условные плотности распределения составляющих.

8.4. Числовые характеристики непрерывной системы
двух случайных величин

Зная плотности распределения составляющих X и Y непрерывной двумерной случайной величины (X, У), можно найти их математические ожидания и дисперсии:

Иногда удобнее использовать формулы, содержащие двумерную плотность вероятности (двойные интегралы берутся по области возможных значений системы):

Начальным, моментом n k, s порядка k+s системы (X, Y ) называют математическое ожидание произведения X k Y s :

n k, s = M.

В частности,

n 1,0 = M(X), n 0,1 = M(Y).

Центральным моментом m k, s порядка k+s системы (X, Y ) называют математическое ожидание произведения отклонений соответственно k -й и s -й степеней:

m k, s = M{ k ∙ s }.

В частности,

m 1,0 =M = 0, m 0,1 = M = 0;

m 2,0 =M 2 = D(X), m 0,2 = M 2 = D(Y);

Корреляционным моментом m xу системы (X, Y ) называют центральный момент m 1,1 порядка 1 + 1:

m xу = M{ ∙ }.

Коэффициентом корреляции величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

r xy = m xy / (s x s y).

Коэффициент корреляции – безразмерная величина, причем |r xy | ≤ 1. Коэффициент корреляции служит для оценки тесноты линейной связи между X и Y : чем ближе абсолютная величина коэффициента корреляции к единице, тем связь сильнее; чем ближе абсолютная величина коэффициента корреляции к нулю, тем связь слабее.

Коррелированными называют две случайные величины, если их корреляционный момент отличен от нуля.

Некоррелированными называют две случайные величины, если их корреляционный момент равен нулю.

Две коррелированные величины также и зависимы; если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя сделать вывод о независимости этих величин (для нормально распределенных величин из некоррелированности этих величин вытекает их независимость).

Для непрерывных величин X и Y корреляционный момент может быть найден по формулам:

239. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y):

Найти: а) математические ожидания; б) дисперсии составляющих X и Y.

240. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y):

Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.

241. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y): f(x, y) = 2 cosx cosy в квадрате 0 ≤ x ≤p/4, 0 ≤ y ≤p/4; вне квадрата f(x, y) = 0. Найти математические ожидания составляющих.

242. Доказать, что если двумерную плотность вероятности системы случайных величин (X, Y ) можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x , а другая – только от y , то величины X и Y независимы.

243. Доказать, что если X и Y связаны линейной зависимостью Y = aX + b , то абсолютная величина коэффициента корреляции равна единице.

Решение . По определению коэффициента корреляции,

r xy = m xy / (s x s y).

m xу = M{ ∙ }. (*)

Найдем математическое ожидание Y :

M(Y) = M = aM(X) + b. (**)

Подставив (**) в (*), после элементарных преобразований получим

m xу = aM 2 = aD(X) = as 2 x .

Учитывая, что

Y – M(Y) = (aX + b) – (aM(X) + b) = a,

найдем дисперсию Y :

D(Y) = M 2 = a 2 M 2 = a 2 s 2 x .

Отсюда s y = |a|s x . Следовательно, коэффициент корреляции

Если a > 0, то r xy = 1; если a < 0, то r xy = –1.

Итак, |r xy | = 1, что и требовалось доказать.