С 16 преобразование графиков тригонометрических функций. Преобразование графика тригонометрической функции у = sin x путем сжатия и расширения гбпоу «российский колледж традиционной культуры» попова л.а. Параллельный перенос графика вдоль оси Оу
Урок 24. Преобразования графиков тригонометрических функций
09.07.2015 5528 0Цель: рассмотреть наиболее распространенные преобразования графиков тригонометрических функций.
I. Сообщение темы и цели урока
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).
Вариант 1
sin х.
2. Найдите основной период функции:
3. Постройте график функции
Вариант 2
1. Основные свойства и график функции у = cos х.
2. Найдите основной период функции:
3. Постройте график функции
III. Изучение нового материала
Все преобразования графиков функций, изложенные подробно в главе 1, являются универсальными - они пригодны для всех функций, в том числе и тригонометрических. Поэтому рекомендуем повторить эту тему. Здесь же ограничимся кратким напоминанием основных преобразований графиков.
1. Для построения графика функции у = f (x ) + b надо перенести график функции на | b | единиц вдоль оси ординат - вверх при b > 0 и вниз при b < 0.
2. Для построения графика функции y = mf (x ) (где m > 0) надо растянуть график функции у = f (x ) в m раз вдоль оси ординат. Причем для m > 1 происходит действительно растяжение в m раз, для 0 < m < 1 - сжатие в 1/ m раз.
3. Для построения графика функции у = f (x + a ) надо перенести график функции на | a | единиц вдоль оси абсцисс - вправо при а < 0 и влево при а > 0.
4. Для построения графика функции у = f (kx ) (где к > 0) надо сжать график функции у = f (x ) в k раз вдоль оси абсцисс. Причем для k > 1 происходит действительно сжатие в к раз, для 0 < k < 1 – растяжение в 1/ k раз.
5. Для построения графика функции у = - f (x ) надо график функции y = f (x ) отразить относительно оси абсцисс (это преобразование - частный случай преобразования 2 для m = -1).
6. Для построения графика функции у = f (-х) надо график функции y = f (x ) отразить относительно оси ординат (это преобразование - частный случай преобразования 4 для k = -1).
Пример 1
Построим график функции у = - cos 3 x + 2.
В соответствии с правилом 5 надо график функции у = cos x отразить относительно оси абсцисс. По правилу 3 этот график надо сжать в три раза вдоль оси абсцисс. Наконец, такой график по правилу 1 надо поднять вверх на три единицы вдоль оси ординат.
Полезно также напомнить правила преобразования графиков с модулями.
1. Для построения графика функции y = | f (х)| надо сохранить часть графика функции у = f (x ), для которой у ≥ 0. Ту часть графика у = f (x ), для которой у < 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.
2. Для построения графика функции у = f (|х|) надо сохранить часть графика функции у = f (x ), для которой х ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить влево относительно оси ординат.
3. Для построения графика уравнения |у| = f (х) надо сохранить часть графика функции у = f (x ), для которой у ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить вниз относительно оси абсцисс.
Пример 2
Построим график уравнения |у| = sin | x |.
Построим график функции у = sin x для x ≥ 0. Этот график по правилу 2 отразим влево относительно оси ординат. Сохраним части такого графика, для которых у ≥ 0. По правилу 3 эти части симметрично отразим вниз относительно оси абсцисс.
В более сложных случаях знаки модуля необходимо раскрывать.
Пример 3
Построим график сложной функции у = cos (2 x + |х|).
Напомним, что аргумент функции косинуса представляет собой функцию переменной х, и поэтому данная функция является сложной. Раскроем знак модуля и получим: Для двух таких промежутков построим график функции y (x ). Учтем, что при х ≥ 0 график функции у = cos 3 x получается из графика функции у = cos х сжатием в 3 раза вдоль оси абсцисс.
Пример 4
Построим график функции
Используя формулу квадрата разности, запишем функцию в виде График функции состоит из двух частей. При х > 0 надо построить график функции у = 1 - cos х. Он получается из графика функции у = cos x отражением относительно оси абсцисс и смещением на 1 единицу вверх вдоль оси ординат.
При х ≥ 0 строим график функции у = (x -1)2 - 1. Он получается из графика функции у = x 2 смещением на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс и на 1 единицу вверх вдоль оси ординат.
IV. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)
1. Правила преобразований графиков функций.
2. Преобразования графиков с модулями.
V. Задание на уроке
§ 13, № 2 (а, б); 3; 5; 7 (в, г); 8 (а, б); 9 (а); 10 (б); 11 (а, б); 13 (в, г); 14; 17 (а, б); 19 (б); 20 (а, в).
VI. Задание на дом
§ 13, № 2 (в, г); 4; 6; 7 (а, б); 8 (в, г); 9 (б); 10 (а); 11 (в, г); 13 (а, б); 15; 17 (в, г); 19 (а); 20 (б, г).
VII. Творческое задание
Постройте график функции, уравнения, неравенства:
VIII. Подведение итогов урока
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Графики тригонометрических функций Функция у = sin x, ее свойства Преобразование графиков тригонометрических функций путем параллельного переноса Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и расширения Для любознательных…
тригонометрические функции Графиком функции у = sin x является синусоида Свойства функции: D(y) =R Периодическая (Т=2 ) Нечетная (sin(-x)=-sin x) Нули функции: у=0, sin x=0 при х = n, n Z y=sin x
тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 5. Промежутки знакопостоянства: У >0 при х (0+2 n ; +2 n) , n Z У
тригонометрические функции Свойства функции у= sin x 6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках вида: - /2 +2 n ; / 2+2 n n Z y = sin x
тригонометрические функции Свойства функции у= sin x Промежутки монотонности: функция убывает на промежутках вида: /2 +2 n ; 3 / 2+2 n n Z y=sin x
тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 7. Точки экстремума: Х мах = / 2 +2 n , n Z Х м in = - / 2 +2 n , n Z y=sin x
тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 8 . Область значений: Е(у) = -1;1 y = sin x
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций График функции у = f (x +в) получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (-в) единиц вдоль оси абсцисс График функции у = f (x)+а получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (а) единиц вдоль оси ординат
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций Постройте график Функции у = sin(x+ /4) вспомнить правила
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y =sin (x+ /4) Постройте график функции: y=sin (x - /6)
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y = sin x + Постройте график функции: y =sin (x - /6)
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y= sin x + Постройте график функции: y=sin (x + /2) вспомнить правила
тригонометрические функции Графиком функции у = cos x является косинусоида Перечислите свойства функции у = cos x sin(x+ /2)=cos x
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при k>1) вдоль оси ординат График функции у = k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при 0
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y=sin2x y=sin4x Y=sin0.5x вспомнить правила
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при k>1) вдоль оси абсцисс График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при 0
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y = cos2x y = cos 0.5x вспомнить правила
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения Графики функций у = -f (kx) и у=- k f(x) получаются из графиков функций у = f(kx) и y= k f(x) соответственно путем их зеркального отображения относительно оси абсцисс синус – функция нечетная, поэтому sin(-kx) = - sin (kx) косинус –функция четная, значит cos(-kx) = cos(kx)
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y = - sin3x y = sin3x вспомнить правила
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y=2cosx y=-2cosx вспомнить правила
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx+b) получается из графика функции у = f(x) путем его параллельного переноса на (-в /k) единиц вдоль оси абсцисс и путем сжатия в k раз (при k>1) или растяжения в k раз (при 0
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения Y= cos(2x+ /3) y=cos(x+ /6) y= cos(2x+ /3) y= cos(2(x+ /6)) y= cos(2x+ /3) y= cos(2(x+ /6)) Y= cos(2x+ /3) y=cos2x вспомнить правила
тригонометрические функции Для любознательных… Посмотрите как выглядят графики некоторых других триг. функций: y = 1 / cos x или y=sec x (читается секонс) y = cosec x или y= 1/ sin x читается косеконс
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
ЦОР «Преобразование графиков тригонометрических функций» 10-11 классы
Раздел учебной программы:«Тригонометрические функции».Тип урока:цифровой образовательный ресурс комбинированного урока алгебры. По форме изложения материала:Комбинированный (универсальный) ЦОР со...
Методическая разработка урока по математике:«Преобразование графиков тригонометрических функций»
Методическая разработка урока по математике: «Преобразование графиков тригонометрических функций» для учащихся десятого класса. Урок сопровождается презентацией....
АЛГЕБРА
Уроки для 10 классов
Тема. Построение графиков тригонометрических функций
Цель урока: построение графиков функций у = sin х, у = cos x , у = tg х, у = ctg x.
Формирование умений строить графики функций: у = Asin (kx + b ), у = Acos (kx + b ), у = Atg (kx + b ), у = Actg (kx + b ).
И. Проверка домашнего задания
1. Один ученик воспроизводит решение упражнения № 24 (1-3).
2. Фронтальная беседа:
1) Назовите явления в природе, которые периодически повторяются.
2) Дайте определение периодической функции.
3) Если функция у = f (x ) имеет периодом число Т, то будет периодом этой функции число 2Т, 3T ...? Ответ обоснуйте.
4) Найдите наименьший положительный период функций:
a ) y = cos ; б) y = sin ; в) у = tg ; г) у = .
5) периодическая функция у = С? Если да, то укажите период этой функции.
II. Построение графика функции у = sin х
Для построения графика функции у = sin x воспользуемся единичным кругом. Построим единичный круг радиусом 1 см (2 клетки). Справа построим систему координат, как на рис. 57.
На ось ОХ нанесем точки ; π ; ; 2 π (соответственно 3 ячейки, 6 ячеек 9 ячеек, 12 ячеек). Разделим первую четверть единичного круга на три равные части и на столько же частей отрезок оси абсцисс. Перенесем значение синуса до соответствующих точек оси ОХ. Получим точки, которые надо соединить плавной линией. Затем разделим вторую, третью и четвертую четверть единичного круга также на три равные части и перенесем значение синуса до соответствующей точки оси ОХ. Последовательно соединив все полученные точки, получим график функции у = sin х на промежутке .
За то что функция у = sin x периодическая с периодом 2 π , то для построения графика функции у = sin x на всей прямой ОХ достаточно параллельно перенести построен график вдоль оси ОХ на 2 π , 4 π , 6 π ... единиц влево и вправо (рис. 58).
Кривая, которая является графиком функции у = sin x , называют синусоидой.
Выполнение упражнений______________________________
1. Постройте графики функций.
а) у = sin ; б) у = sin 2х; в) у = 2 sin х; г) у = sin (-x).
Ответы: а) рис. 59; б) рис. 60; в) рис. 61; г) рис. 62.
III . Построение графика функции у = cos x
Как известно, cos х = sin , поэтому у = cos x и у = sin - одинаковые функции. Для построения графика функции у = sin воспользуемся геометрич-ими преобразованиями графиков: сначала построим (рис. 63) график функции у = sin х, затем у = sin (-х) и в конце у = sin .
Выполнение упражнений________________________________
1. Постройте графики функций:
a ) y = cos ; б) y = cos ; в) y =cos х; г) у = | cos x |.
Ответ: а) рис. 64; б) рис. 65; в) рис. 66; г) рис. 67.
IV. Построение графика функции у = tg x
График функции у = tg x построим с помощью линии тангенсов на промежутке , длина которого равна периоду π этой функции. Построим единичный круг радиусом 2 см (4 ячейки) и проведем линию тангенсов. Справа построим систему координат, как на рис. 68.
На ось ОХ нанесем точки ; (6 ячеек). Разделим первую и четвертую четверть окружности на 3 равные части и на столько же частей каждый из отрезков и . Найдем значения тангенсов чисел ; ; 0; ; с помощью линии тангенсов (ординаты точек ; ; ; ; линии тангенсов). Перенесем значения тангенсов до соответствующих точек оси ОХ. Последовательно соединив все полученные точки, получим график функции у = tg x на промежутке .
За то что функция у = tg x периодическая с периодом π, для построения графика функции у = tg x на всей прямой ОХ достаточно параллельно перенести построен график вдоль оси ОХ на π , 2 π , 3 π , 4 π ... единиц влево и вправо (рис. 69).
График функции у = tg x называется тангенсоїдою.
Выполнение упражнений
1. Постройте график функций
а) у = tg 2х; б) у = t gx ; в) у = tg x + 2; г) у = tg (-x).
Ответы: а) рис. 70; б) рис. 71; в) рис. 72; г) рис. 73.
V. Построение графика функции у = ctg x
График функции у = ctg x легко получить, воспользовавшись формулой ctg x = tg и двумя геометрическими преобразованиями (рис. 74) симметрия относительно оси ΟΥ параллельный перенос вдоль оси ОХ на .
IV. Домашнее задание
Раздел И § 6. Вопросы и задания для повторения раздела И № 50-51. Упражнения № 28 (а-г).
V. Итог урока
Конспект урока алгебры и начала анализав 10 классе
по теме: «Преобразование графиков тригонометрических функций»
Цель урока: систематизировать знания по теме «Свойства и графики тригонометрических функций у=sin (x ), у=cos (x )».
Задачи урока:
- повторить свойства тригонометрических функций у=sin (x ), у=cos (x );
- повторить формулы приведения;
- преобразование графиков тригонометрических функций;
- развивать внимание, память, логическое мышление; активизировать мыслительную деятельность, умение анализировать, обобщать и рассуждать;
- воспитание трудолюбия, усердия в достижении цели, интерес к предмету.
Оборудование урока:икт
Тип урока: изучение нового
Ход урока
Перед уроком 2 ученика на доске строят графики из домашнего задания.
Организационный момент:
Здравствуйте, ребята!
Сегодня на уроке мы будем преобразовывать графики тригонометрических функций у=sin (x ), у=cos (x ).
Устная работа:
Проверка домашнего задания.
разгадывание ребусов.
Изучение нового материала
Все преобразования графиков функций являются универсальными - они пригодны для всех функций, в том числе и тригонометрических. Здесь же ограничимся кратким напоминанием основных преобразований графиков.
Преобразование графиков функций.
Дана функция у = f (x ). Все графики начинаем строить с графика этой функции, затем производим с ним действия.
Функция
Что делать с графиком
y = f(x) + a
Все точки первого графика поднимаем на а единиц вверх.
y = f(x) – a
Все точки первого графика опускаем на а единиц вниз.
y = f(x + a)
Все точки первого графика сдвигаем на а единиц влево.
y = f (x – a)
Все точки первого графика сдвигаем на а единиц вправо.
y = a*f (x),a>1
Закрепляем нули на месте, верхние точки сдвигаем выше в а раз, нижние – опускаем ниже в а раз.
График «вытянется» вверх и вниз, нули остаются на месте.
y = a*f(x), a<1
Закрепляем нули, верхние точки опустятся вниз в а раз, нижние – поднимутся в а раз. График «сожмётся» к оси абсцисс.
y = -f (x )
Зеркально отобразить первый график относительно оси абсцисс.
y = f (ax ), a <1
Закрепить точку на оси ординат. Каждый отрезок на оси абсцисс увеличить в а раз. График растянется от оси ординат в разные стороны.
y = f (ax ), a >1
Закрепить точку на оси ординат, каждый отрезок на оси абсцисс уменьшить в а раз. График «сожмётся» к оси ординат с обеих сторон.
у = | f(x)|
Части графика, расположенные под осью абсцисс зеркально отобразить. Весь график будет расположен в верхней полуплоскости.
Схемы решения.
1)y = sin x + 2.
Строим график у = sin x . Каждую точку графика поднимаем вверх на 2 единицы (нули тоже).
2)y = cos x – 3.
Строим график y = cos x . Каждую точку графика опускаем вниз на 3 единицы.
3)y = cos (x - /2)
Строим график y = cos x . Все точки сдвигаем на п/2 вправо.
4)у = 2 sin x .
Строим график у = sin x . Нули оставляем на месте, верхние точки поднимаем в 2 раза, нижние опускаем на столько же.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА Построение графиков тригонометрических функций с помощью программы Advanced Grapher.
Построим график функции у = -cos 3x + 2.
- Построим график функции у = cos x .
- Отразим его относительно оси абсцисс.
- Этот график надо сжать в три раза вдоль оси абсцисс.
- Наконец, такой график надо поднять вверх на три единицы вдоль оси ординат.
y = 0,5 sin x.
y = 0,2cos x-2
у = 5cos 0,5 x
y= -3sin(x+π).
2) Найди ошибку и исправь её.
V. Исторический материал. Сообщение об Эйлере.
Леонард Эйлер – крупнейший математик 18-го столетия. Родился в Швейцарии. Долгие годы жил и работал в России, член Петербургской академии.
Почему же мы должны знать и помнить имя этого ученого?
К началу 18 века тригонометрия была еще недостаточно разработана: не было условных обозначений, формулы записывались словами, усваивать их было трудно, неясным был и вопрос о знаках тригонометрических функций в разных четвертях круга, под аргументом тригонометрической функции понимали только углы или дуги. Только в трудах Эйлера тригонометрия получила современный вид. Именно он стал рассматривать тригонометрическую функцию числа, т.е. под аргументом стали понимать не только дуги или градусы, но и числа. Эйлер вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, упорядочил вопрос о знаках тригонометрической функции в разных четвертях круга. Для обозначения тригонометрических функций он ввел символику: sin x, cos x, tg x, ctg x.
На пороге 18-го века в развитии тригонометрии появилось новое направление – аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, то Эйлер рассматривал тригонометрию как науку о тригонометрических функциях. Первая часть: учение о функции – часть общего учения о функциях, которое изучается в математическом анализе. Вторая часть: решение треугольников – глава геометрии. Такие вот нововведения были сделаны Эйлером.
VI. Повторение
Самостоятельная работа “Допиши формулу”.
VII. Итоги урока:
1) Что нового вы узнали сегодня на уроке?
2) Что еще вы хотите узнать?
3) Выставление оценок.
Графики тригонометрических функций
- Функция у = sin x, ее свойства
- Преобразование графиков тригонометрических функций путем параллельного переноса
- Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и расширения
- Для любознательных…
- Автор
Графиком функции у = sin x является синусоида
y = sin x
Свойства функции :
- D(y) =R 2. Периодическая (Т=2 )
3. Нечетная ( sin(-x)=-sin x) 4. Нули функции:
у=0, sin x=0 при х = n, n Z
0 при х (0+2 n ; +2 n) , n Z у при x (- +2 n ; 0+2 n), n Z" width="640"
Свойства функции у = sin x
y = sin x
5. Промежутки знакопостоянства :
у 0 при х (0+2 n ; +2 n ) , n Z
у при x ( - +2 n ; 0+2 n), n Z
Свойства функции у= sin x
6. Промежутки монотонности :
функция возрастает на промежутках
вида: - /2 +2 n ; / 2+2 n n Z
Свойства функции у= sin x
Промежутки монотонности:
функция убывает на промежутках
вида: /2 +2 n ; 3 / 2+2 n n Z
Свойства функции у = sin x
x min
x min
x max
x max
7 . Точки экстремума :
x мах = / 2 +2 n , n Z
x м in = - / 2 +2 n , n Z
Свойства функции у = sin x
8 . Область значений :
Е(у) = -1;1
Преобразование графиков тригонометрических функций
- График функции у = f (x +в) получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (-в) единиц вдоль оси абсцисс
- График функции у = f (x )+а получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (а) единиц вдоль оси ординат
Постройте график
Функции у = sin(x+ /4 )
y = sin x
вспомнить
правила
Постройте график
функции: y=sin (x - /6)
y =sin (x+ /4 )
Постройте график
функции:
y = sin x +
y =sin (x - /6 )
y= sin x +
Постройте график
функции: y=sin (x + /2)
вспомнить
правила
Графиком функции у = cos x является косинусоида
sin(x+ /2)=cos x
Перечислите свойства
функции у = cos x
путем сжатия и растяжения
- График функции у = k f (x у = f(x) путем его растяжения в k раз (при k1) вдоль оси ординат
- График функции у = k f (x ) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в 1/k раз (при 0 вдоль оси ординат
путем сжатия и растяжения
y=0.5sinx
вспомнить
правила
путем сжатия и растяжения
- График функции у = f (kx ) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при k1) вдоль оси абсцисс
- График функции у = f (kx ) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в 1/k раз (при 0 вдоль оси абсцисс
путем сжатия и растяжения
y = cos2x
y = cos 0.5x
вспомнить
правила
путем сжатия и растяжения
- Графики функций у = -f (kx ) и у=- k f(x) получаются из графиков функций у = f(kx) и y= k f(x) соответственно путем их зеркального отображения относительно оси абсцисс
- синус – функция нечетная, поэтому sin(-kx) = - sin (kx)
косинус –функция четная, значит cos(-kx) = cos(kx)
путем сжатия и растяжения
y = - 3sinx
y = 3sinx
вспомнить
правила
путем сжатия и растяжения
y=-2cosx
вспомнить
правила
путем сжатия и растяжения
- График функции у = f (kx+b ) получается из графика функции у = f(x) путем его параллельного переноса на (-в /k) единиц вдоль оси абсцисс и путем сжатия в k раз (при k1) или растяжения в 1/k раз (при 0 вдоль оси абсцисс
- f (kx+b) = f (k(x+b/k))
путем сжатия и растяжения
y= cos(2x+ /3)
y= cos(2(x+ /6))
y= cos(2x+ /3)
y= cos(2(x+ /6))
y=cos(x+ /6)
Y= cos(2x+ /3)
Y= cos(2x+ /3)
вспомнить
правила
Для любознательных…
Посмотрите как выглядят графики некоторых других триг. функций :
y = cosec x или y= 1/ sin x
читается косеконс
y = 1 / cos x или y=sec x
( читается секонс)
О тригонометрических функциях можно почитать в работах :
- Определение тригонометрических функций
- О периодах тригонометрических функций
- Графики синуса и косинуса
- Графики тангенса и котангенса
- Формулы приведения
- Простейшие тригонометрические уравнения
Учитель математики
Державинского лицея
г. Петрозаводска
Присакарь
Ольга Борисовна
(mail : [email protected])
- Напишите мне ваши