Леонард эйлер - швейцарец с русской душой. Леонард Эйлер: краткая биография Сообщение по информатике про леонарда эйлера

(1707-1783) швейцарский и русский математик

Леонард Эйлер родился в апреле 1707 года в Швейцарии, в городе Базеле. Его отец, Пауль Эйлер, пастор, имел небольшой приход в местечке Риэн. Он получил хорошее образование, учился в Базельском университете и увлекался математикой. В Базельском университете преподавали знаменитые братья Бернулли, Якоб и Иоганн. Мать Леонарда, Маргарет Брукер, была из семьи пастора.

Первые уроки математики Леонард получил дома, в семье, с ним много занимался отец, защитивший диссертацию по математике. Несмотря на свое юношеское увлечение математикой, отец хотел сделать из Леонарда священника, дать ему духовное образование.

Школьные годы мальчика прошли в латинской школе. И хотя это была городская школа и находилась в Базеле, она больше напоминала сельскую по уровню преподавания, который был очень низок, и о получении серьезных математических знаний говорить не приходилось.

В тринадцать лет Леонард поступает на факультет свободных искусств Базельского университета. Здесь на него обратил внимание профессор Иоганн Бернулли. Он был из знаменитой династии Бернулли, известных во всем мире ученых.

Жизнь профессора Базельского университета была нелегкой, денег не хватало, приходилось давать частные уроки. Это все стало известно Леонарду Эйлеру, и он отправился к профессору Бернулли с просьбой позаниматься с ним за отдельную плату. Профессор поговорил с Леонардом и... отказал ему, сказав, что очень занят. Правда, потом он все-таки согласился, и чутье его не подвело. Не забывал Эйлер и другие университетские курсы, гуманитарные предметы. Юноша был широко образован, впечатляли его успехи по истории римского права и натурфилософии.

Эйлер получает звание магистра искусств после блестящей речи о сравнении картезианской и ньютонианской философии. Интересно, что вместе с ним это же звание магистра получил сын профессора Бернулли, тоже Иоганн, причем ему было только тринадцать лет. В будущем он станет профессором красноречия, а затем и профессором математики, и кафедра Базельского университета перейдет от отца к сыну.

Леонард Эйлер заканчивает факультет свободных искусств, и отец настаивает на богословском образовании. Для юноши слово отца закон, и он начинает изучать древнееврейский и греческий языки. Дело идет с трудом, потому что он продолжает встречаться по субботам с профессором Бернулли, где вместе с его сыновьями увлеченно занимается математикой. Пауль Эйлер был вынужден отступить, и теперь Леонарду ничто не мешает заниматься любимой математикой.

Ему семнадцать лет, и он заканчивает университет. Теперь, как говорится, пора подумать и о работе по специальности. Выясняется, что в Базеле нет работы, все места заняты. Но в это время как раз открылась Петербургская Академия наук, и Леонард Эйлер и братья Николай и Даниил Бернулли получают приглашение в Петербург.

24 мая 1727 года Леонард прибывает в Петербург. Россия становится для него второй родиной. 20-летний математик быстро акклиматизировался, изучил русский язык настолько, что свободно говорил и писал на нем. Прошло три года, и Петербургская Академия по достоинству оценила молодого ученого. В двадцать три года он уже профессор физики, а еще через три года получает кафедру высшей математики.

Ученый много работает, читает лекции, пишет книги. Круг его научных интересов необычайно широк. За четырнадцать лет работы Эйлер написал 80 работ по математике, гидравлике, архитектуре, навигации, картографии и механике. Это мог сделать только человек с неуемной энергией.

Запад узнает о великом русском ученом швейцарского происхождения Леонарде Эйлере. Его учитель, профессор Бернулли, в письме обращается к нему как к «знаменитейшему и замечательнейшему мужу» и даже как к «несравненному Леонарду Эйлеру, принцепсу математиков».

И в личной жизни ученого все складывается как нельзя лучше. Он женился на Катерине Гзель, швейцарке, дочери художника, академического живописца и учителя рисования в гимназии. Незадолго перед женитьбой Леонард Эйлер приобрел участок земли на 10-ой линии Васильевского острова между Большим проспектом и Невой и построил дом. Теперь к нему приезжает и младший брат Иоганн Генрих. Он живописец и начинает работать в Академии наук.

В 1738 году случилось несчастье: Леонард Эйлер тяжело заболел и ослеп на правый глаз. Но жизнь и научная работа великого ученого в Петербурге продолжается. Первый петербургский период его деятельности длился четырнадцать лет. Затем ученый уезжает в Берлин. Прусский король Фридрих II предложил ему весьма и весьма выгодные условия. В планах короля было преобразование Общества наук в Берлинскую академию наук и литературы.

19 июля 1741 года 34-летний Эйлер со всеми своими домочадцами отплыл из Петербурга. Начинается так называемый берлинский период жизни ученого. Его дом в Берлине находится на Беренштрассе, в двух шагах от здания Комической оперы.

Хотя король Фридрих II и пригласил великого математика, но на этом его любовь к Эйлеру и закончилась, поскольку тот не соответствовал тому образу придворного ученого, который нарисовал себе сам король. Эйлер был не похож на важного придворного вельможу, салонного острослова. Среднего роста, плотного телосложения, он был благожелателен и прост в обращении, очень доступен, любил пошутить, был вспыльчив и горяч, но отходчив.

В Берлине Эйлер ведет переписку с Михаилом Васильевичем Ломоносовым. Они никогда не встречались, но их письма говорят о том, что взгляды двух великих ученых на многие проблемы совпадают. Эйлер поддерживал также хорошие отношения с физиком Моро де Мопертюи, президентом Академии наук, который часто болел. Когда он уезжал домой, во Францию, то во время его отсутствия обязанности президента выполнял Эйлер.

Эйлер стал первым математиком мира, его работы в области математического анализа и теории чисел стали классикой. Новый подход ученого в геометрии привел к рождению новой науки, которую назовут топологией. Вариационное исчисление, изложенное им, содержало целый ряд новых результатов. Интересы Эйлера простираются от кораблестроения до небесной механики, где он создал теорию движения Луны, когда учитывается притяжение и Луны, и Солнца. Диоптрика и музыка, гидравлика и механика - его интересует все.

Леонард Эйлер поддерживает тесные контакты с Петербургской Академией наук и ведет переговоры о своем возможном возвращении в Петербург. Его обидело то, что король не предложил ему освободившееся место президента Академии. Двадцать пять лет прожил Леонард Эйлер в Берлине, и вот он снова возвращается в Россию, в Петербург, его приглашает сама Екатерина II, покровительница наук. Место Эйлера в Берлине занимает молодой Лагранж, в будущем знаменитый математик.

60-летнего ученого принимает Екатерина II, он полон энергии и душевных сил, желания работать на благо России. Но Эйлер уже не молодой человек и каждый удар судьбы переносит с трудом. Во-первых, он почти полностью ослеп. Во-вторых, умирает жена, и в довершение всего - пожар. Но сломить Эйлера нельзя. Он работает и как ученый, и как организатор науки, участвует в решении научных проблем. Выходят его книги и монографии. За семнадцать лет жизни в Петербурге после возвращения из Берлина Леонард Эйлер опубликовал двести сочинений. Он женится во второй раз, его жена, Саломея-Абигайль Гзель, - родная сестра его первой супруги. Эйлер любит дом, семью, у него пятеро детей и двадцать шесть внуков. Эйлеры прочно обосновались в Петербурге, дети приняли русское подданство.

Идет 1783 год. Ученому 75 лет. Его здоровье ухудшается, теперь он почти не покидает дом, почти прекращает переписку, которая отнимает так много сил и времени. Правительство позаботилось о том, чтобы великий математик ни в чем не нуждался.

До последнего дня жизни он сохранял ясную голову, оживленно беседовал, делал расчеты.

Великий ученый Леонард Эйлер занимает одно из первых мест в истории мировой науки. Полное собрание его трудов составляет 72 тома, 800 научных работ. Этот тихий и скромный человек, полностью ослепший, много работал, совершив великое множество научных открытий. Его окружали ученики, которых он любил, коллеги, друзья.

Швейцария (1707-1727)

Базельский университет в XVII-XVIII веках

В последующие два года юный Эйлер написал несколько научных работ. Одна из них, «Диссертация по физике о звуке», получившая благоприятный отзыв, была представлена на конкурс для замещения неожиданно освободившейся в Базельском университете должности профессора физики (). Но, несмотря на положительный отзыв, 19-летнего Эйлера сочли слишком юным, чтобы включить в число кандидатов на профессорскую кафедру. Надо отметить, что число научных вакансий в Швейцарии было совсем невелико. Поэтому братья Даниил и Николай Бернулли уехали в Россию, где как раз шла организация Академии наук ; они обещали похлопотать там и о должности для Эйлера.

Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. По отзывам современников, для него жить означало заниматься математикой. А работы у молодого профессора было много: картография , всевозможные экспертизы, консультации для кораблестроителей и артиллеристов, составление учебных руководств, проектирование пожарных насосов и т. д. От него даже требуют составления гороскопов , каковой заказ Эйлер со всем возможным тактом переадресовал штатному астроному. Но всё это не мешает ему активно проводить собственные исследования.

За первый период пребывания в России он написал более 90 крупных научных работ. Значительная часть академических «Записок» заполнена трудами Эйлера. Он делал доклады на научных семинарах, читал публичные лекции, участвовал в выполнении различных технических заказов правительственных ведомств.

Этой высокой оценке не помешало даже то, что Ломоносов математических работ не писал и высшей математикой не владел .

Портрет 1756 года, выполненный Эмануэлем Хандманном (Kunstmuseum, г. Базель)

По отзывам современников, Эйлер всю жизнь оставался скромным, жизнерадостным, чрезвычайно отзывчивым человеком, всегда готовым помочь другому. Однако отношения с королём не складываются: Фридрих находит нового математика невыносимо скучным, совершенно не светским, и обращается с ним пренебрежительно. В 1759 году умер Мопертюи , президент Берлинской Академии наук. Пост президента Академии король Фридрих II предложил Даламберу , но тот отказался. Фридрих, недолюбливавший Эйлера, всё же поручил ему руководство Академией, однако без титула президента.

Эйлер возвращается в Россию, теперь уже навсегда.

Снова Россия (1766-1783)

Эйлер активно трудился до последних дней. В сентябре 1783 года 76-летний учёный стал ощущать головные боли и слабость. 7 () сентября после обеда, проведённого в кругу семьи, беседуя с академиком А. И. Лекселем о недавно открытой планете Уран и её орбите, он внезапно почувствовал себя плохо. Эйлер успел произнести: «Я умираю», - и потерял сознание. Через несколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался от кровоизлияния в мозг.

«Он перестал вычислять и жить», - сказал Кондорсе на траурном заседании Парижской Академии наук (фр. Il cessa de calculer et de vivre ).

Эйлер был заботливым семьянином, охотно помогал коллегам и молодёжи, щедро делился с ними своими идеями. Известен случай, когда Эйлер задержал свои публикации по вариационному исчислению, чтобы молодой и никому тогда не известный Лагранж , независимо пришедший к тем же открытиям, смог опубликовать их первым . Лагранж всегда с восхищением относился к Эйлеру и как к математику, и как к человеку; он говорил: «Если вы действительно любите математику, читайте Эйлера».

Вклад в науку

Эйлер оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. С точки зрения математики, XVIII век - это век Эйлера. Если до него достижения в области математики были разрозненны и не всегда согласованны, то Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, тригонометрию, теорию чисел и др. дисциплины в единую систему, и добавил немало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по Эйлеру».

Благодаря Эйлеру в математику вошли общая теория рядов, удивительная по красоте «формула Эйлера », операция сравнения по целому модулю , полная теория непрерывных дробей , аналитический фундамент механики, многочисленные приёмы интегрирования и решения дифференциальных уравнений, число e , обозначение i для мнимой единицы , гамма-функция с её окружением и многое другое.

По существу, именно он создал несколько новых математических дисциплин - теорию чисел , вариационное исчисление , теорию комплексных функций , дифференциальную геометрию поверхностей , специальные функции . Другие области его трудов: диофантов анализ , астрономия , оптика , акустика , статистика и т. д. Познания Эйлера были энциклопедичны; кроме математики, он глубоко изучал ботанику , медицину , химию , теорию музыки , множество европейских и древних языков.

• Спор с Д"Аламбером о свойствах комплексного логарифма .
• Спор с английским оптиком Джоном Доллондом о том, возможно ли создать ахроматическую линзу .

Во всех упомянутых случаях Эйлер отстаивал правильную позицию.

Теория чисел

Он опроверг гипотезу Ферма о том, что все числа вида - простые; оказалось, что делится на 641.

где вещественно . Эйлер вывел для неё разложение:

где произведение берётся по всем простым числам . Благодаря этому он доказал, что сумма ряда обратных простых расходится.

Первая книга по вариационному исчислению

Геометрия

В элементарной геометрии Эйлер обнаружил несколько фактов, не замеченных Евклидом :

• Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре).
• В треугольнике ортоцентр, центр описанной окружности и центр тяжести лежат на одной прямой - «прямой Эйлера ».
• Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности (окружности Эйлера).
• Число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) у любого выпуклого многогранника связаны простой формулой : В + Г = Р + 2.

Второй том «Введения в анализ бесконечно малых» () - это первый в мире учебник по аналитической геометрии и основам дифференциальной геометрии . Термин аффинные преобразования впервые введён в этой книге вместе с теорией таких преобразований.

При решении комбинаторных задач он глубоко изучил свойства сочетаний и перестановок , ввёл в рассмотрение числа Эйлера .

Другие области математики

• Теория графов началась с решения Эйлером задачи о семи мостах Кёнигсберга .
• Метод ломаных Эйлера.

Механика и математическая физика

Множество работ Эйлера посвящены математической физике: механике, гидродинамике , акустике и др. В 1736 году вышел трактат «Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении», знаменующий новый этап в развитии этой древней науки. 29-летний Эйлер отказался от традиционного геометрического подхода к механике и подвёл под неё строгий аналитический фундамент. По существу, с этого момента механика становится прикладной математической дисциплиной.

Инженерное дело

• 29 томов по математике;
• 31 том по механике и астрономии;
• 13 - по физике.

Восемь дополнительных томов будут посвящены научной переписке Эйлера (свыше 3000 писем ).

Марки, монеты, банкноты

Библиография

• Новая теория движения Луны. - Л. : Изд. АН СССР, 1934.
• Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами либо максимума, либо минимума. - М.-Л.: ГТТИ, 1934.
• Основы динамики точки. - М.-Л.: ОНТИ, 1938.
• Дифференциальное исчисление. - М.-Л., 1949.
• Интегральное исчисление. В 3 томах. - М .: Гостехиздат, 1956-58.
• Избранные картографические статьи. - М.-Л.: Геодезиздат, 1959.
• Введение в анализ бесконечных. В 2 томах. - М .: Физматгиз, 1961.
• Исследования по баллистике. - М .: Физматгиз, 1961.
• Письма к немецкой принцессе о разных физических и философских материях. - СПб. : Наука, 2002. - 720 с. - ISBN 5-02-027900-5 , 5-02-028521-8
• Опыт новой теории музыки, ясно изложенной в соответствии с непреложными принципами гармонии / пер. с лат. Н. А. Алмазовой . - Санкт-Петербург: Рос. акад. наук, С.-Петерб. науч. центр, изд-во Нестор-История, 2007. - ISBN 978-598187-202-0 (Перевод Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae (Tractatus de musica) . - Petropol.: Typ. Acad. Sci., 1739. )

См. также

• Астрономическая обсерватория Петербургской академии наук

Примечания

Использованная литература

1. Математика XVIII столетия. Указ. соч. - С. 32.
2. Глейзер Г. И. История математики в школе . - М .: Просвещение, 1964. - С. 232.
3. , с. 220.
4. Яковлев А. Я. Леонард Эйлер. - М .: Просвещение, 1983.
5. , с. 218.
6. , с. 225.
7. , с. 264.
8. , с. 230.
9. , с. 231.
10. К 150-летию со дня смерти Эйлера: сборник. - Изд-во АН СССР, 1933.
11. А. С. Пушкин. Анекдоты, XI // Собрание сочинений . - Т. 6.
12. Marquis de Condorcet. Eulogy of Euler. History of the Royal Academy of Sciences (1783) . - Paris, 1786. - P. 37-68. ; см. оригинальный текст : фр. Madame, répondit-il, parce que je viens d’un pays où, quand on parle, on est pendu
13. Белл Э. Т. Указ. соч. - С. 123.
14. Стройк Д. Я. глава VII // Краткий очерк истории математики / Перевод И. Б. Погребысского. - 3-е изд. - М ., 1984.
15. Литвинова Е. Ф. Эйлер // Коперник, Галилей, Кеплер, Лаплас и Эйлер, Кетле. Биографические повествования. - Челябинск, Урал, 1997. - Т. 21. - С. 315. - (Библиотека Ф. Павленкова). - ISBN 5-88294-071-0

15 апреля 1707 года в семье базельского пастора Пауля Эйлера родился сын, нареченный Леонардом. С раннего детства отец готовил его к духовной карьере. По мнению Пауля, хороший священник должен был обладать четко развитой логикой, поэтому большое значение он придавал занятиям математикой. Мало того, что сам пастор любил эту точную науку, так еще он дружил со знаменитым математиком Якобом Бернулли. Когда Леонарду едва исполнилось 13 лет, младший брат Якоба, профессор университета Иоганн Бернулли заметил в мальчике неординарные математические способности и предложил по субботам приходить к нему домой, где они в легкой и непринужденной обстановке вместе с сыновьями Иоганна, Даниилом и Николаем решали сложные математические задачи.

Уже 17 лет от роду Леонард получил ученую степень магистра. Вскоре был издан первый его серьезный научный труд «Диссертация по физике о звуке», получивший весьма лестные отзывы серьезных ученых. В 1725 году молодой магистр попытался получить в Базельском университете освободившееся место профессора физики, но, даже, несмотря на протекцию Бернулли, соискателю ответили, что он слишком молод для такой почетной должности. Вообще тогда в Швейцарии с научными вакансиями было так туго, что даже дети профессора не могли найти себе достойного занятия. Зато научные кадры требовались в соседней России, где в 1724 году Петр I учредил первую в стране Академию. Первыми в Санкт-Петербург перебрались Даниил и Николай, а уже в начале 1726 года Леонарду пришла депеша, в которой говорилось, что его, по рекомендации герров Бернулли приглашают на должность адъюнкта по физиологии с окладом 200 рублей в год. Сумма эта была хоть и не особенно велика, однако она была значительно больше того, на что молодой математик мог рассчитывать на родине. Поэтому уже в апреле 1726 год, сразу по получении аванса, Эйлер покинул родную Швейцарию. Тогда он еще думал, что на время.

В столице Российской Империи молодого спеца, меньше чем за год научившегося довольно бегло говорить по-русски, тут же загрузили работой, причем, не всегда связанной с математикой. Дефицит специалистов привел к тому, что ученого то заряжали заданиями по картографии, то требовали письменных консультаций для кораблестроителей и артиллеристов, то поручали конструирование пожарных насосов, а то и вовсе вменяли в обязанность составление придворных гороскопов. Все эти задания Эйлер аккуратно исполнял, и только требования по вопросам астрологии категорически переадресовывал к придворным астрономам. Предсказания в России всегда были делом повышенной опасности и требовали особой осторожности.

В 1731 году Леонард стал академиком и получил место профессора физики с окладом вдвое против прежнего. А еще через два года он занял должность профессора чистой математички. Теперь ему причиталось 600 рублей в год. С таким доходом уже можно было подумать и о семье. В конце 1733 года 26-летний ученый женился на своей ровеснице и соотечественнице Катарине, дочери художника Георга Гзеля и прибрел небольшой дом на набережной Невы. За время совместной жизни супруга родила Леонарду 13 детей, однако выжили из них только пятеро, две дочери и три сына.

В 1735 году Эйлер самостоятельно, без всякой посторонней помощи, за три дня выполнил срочное правительственное картографическое (по другим данным - астрономическое) задание, на которое другие академики просили несколько месяцев. Однако такая интенсивность работы не могла не сказаться на здоровье ученого: из-за чрезвычайного перенапряжения Леонард Эйлер ослеп на правый глаз.

К тому времени его имя уже было широко известно в России. А написанный в 1736 году трактат «Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении» принес ученому поистине мировую славу. Именно с него теоретическая механика стала прикладной частью математики.

За проведенные в России полтора десятилетия Эйлер написал и издал более 90 крупных научных работ. Он же был основным автором академических «Записок» - центрального российского научного бюллетеня того времени. Математик выступал на научных семинарах, читал публичные лекции, выполнял самые разнообразные задания. Бывший учитель, Иоганн Бернулли, писал ему: «Я посвятил себя детству высшей математики. Ты, мой друг, продолжишь её становление в зрелости». Слава об Эйлере, как о великолепном математике выросла до такой степени, что когда в 1740 году в Берлинской Академии освободилось место директора ее математического департамента, сам прусский король Фридрих предложил ученому занять эту должность.

К тому времени в Петербургской АН началось время стагнации. После смерти императрицы Анны Иоанновны царем стал малолетний Иоанн IV. Правившая в это время империей регент Иоанна Анна Леопольдовна наукам никакого внимания не уделяла, и Академия постепенно приходила в запустение. «Предвиделось нечто опасное, — писал потом Эйлер в автобиографии. — После кончины достославной императрицы Анны при последовавшем тогда регентстве…

положение начало представляться неуверенным». Поэтому ученый воспринял приглашение Фридриха как подарок судьбы и тут же подал прошение, в котором писал: «Того ради нахожусь принужден, как ради слабого здоровья, так и других обстоятельств, искать приятнейшего климата и принять от его Королевского Величества Прусского учиненное мне призывание. Того ради прошу Императорскую Академию наук всеподданнейше меня милостиво уволить и снабдить для моего и домашних моих проезду потребным пашпортом». Но, несмотря на общее прохладное отношение к науке, государственная администрация вовсе не горела желанием вот так запросто отпускать уже признанное мировое светило. С другой стороны, и не отпустить было нельзя. Поэтому, в результате недолгих переговоров, от математика удалось получить обещание, даже проживая в Берлине всячески помогать России. Взамен ему присвоили звание почетного члена Академии с окладом 200 рублей. Наконец, 29 мая 1741 года все документы были выправлены, и уже в июне Эйлер, вместе со всем своим семейством, женой, детьми и четырьмя племянниками прибыл в Берлин.

Здесь его, как и некогда в России, также начали активно привлекать к самым различным непрофильным работам и проектам. Он занимался организацией государственных лотерей, курировал работу монетного двора, руководил прокладкой нового водопровода и организацией пенсионного обеспечения. А вот с самим королем Фридрихом у Леонарда отношения не сложились. Монарху не пришелся по вкусу хоть и добрый и умный, но совершенно не компанейский математик. Действительно, Эйлер терпеть не мог светских приемов, балов и прочих увеселительных мероприятий, мешавших научным рассуждениям. Когда жене удавалось вытащить его в театр, математик выдумывал для себя какой-нибудь сложный пример, который и решал в уме все время представления.

Слово, данное перед тем, как покинуть Россию, ученый держал строго. Он продолжал печатать свои статьи в русских журналах, редактировал труды русских ученых, закупал для Петербуржской Академии инструменты и книги. В его доме на полном пансионе жили отправленные на стажировку молодые русские ученые. Именно здесь он познакомился и подружился с перспективным студентом московских «Спасских школ» Михайлой Ломоносовым, в котором больше всего отмечал «счастливое сочетание теории с экспериментом». Когда в 1747 году президент Академии наук граф Разумовский попросил его дать отзыв о статьях молодого ученого, Эйлер оценил их очень высоко. «Все сии диссертации, - писал он в отчете, - не токмо хороши, но и весьма превосходны, ибо он (Ломоносов) пишет о материях физических и химических весьма нужных, которые по ныне не знали и истолковать не могли самые остроумные люди, что он учинил с таким успехом, что я совершенно уверен в справедливости его изъяснений. При сём случае г. Ломоносову должен отдать справедливость, что имеет превосходное дарование для изъяснения физических и химических явлений. Желать должно, чтоб и другия Академии в состоянии были произвести такия откровения, как показал г. Ломоносов». Надо сказать, что весьма заносчивый, самолюбивый и сложный в общении Михаил Васильевич также до конца дней любил своего берлинского учителя, писал ему дружеские письма и считал одним из величайших ученых мира.

Большинство введенных Эйлером почти три столетия назад терминов, понятий и приемов используются математиками и поныне. Но все это никак не влияло на холодное отношение к нему властьпредержащих царственных особ Пруссии. Когда в 1759 году умер президент Берлинской Академии наук Мопертюи, Фридрих II долго не мог найти ему замену. Французский ученый-энциклопедист и просто большая умница Жан Д`Аламбер, к которому король обратился в первую очередь, отказался от заманчивого предложения, посчитав, что в Берлине есть более достойная кандидатура на этот пост. Наконец Фридрих смирился и таки отдал Эйлеру руководство Академией. Но титул президента присвоить ему отказался категорически.

Тем временем, в России авторитет Эйлера, напротив, все более креп. Во время семилетней войны русская артиллерия случайно разрушила дом ученого в Шарлоттенбурге (пригород Берлина). Узнавший об этом фельдмаршал Салтыков тут же возместил ученому все нанесенные потери. А когда весть о неудачном артобстреле достигла императрицы Елизаветы, она распорядилась от себя лично прислать берлинскому другу еще 4000 рублей, что было огромной суммой.

В 1762 году на русский престол заступила Екатерина II, мечтавшая установить в стране «просвещенную монархию». Возвращение в страну видного математика она видела одной из важнейших своих задач. Поэтому вскоре Эйлер получил от нее весьма интересное предложение: возглавить математический класс, получив при этом звание конференц-секретаря Академии и оклад 1800 рублей в год. «А если не понравится, — говорилось в ее поручении дипломатическим представителям, — благоволит сообщить свои условия, лишь бы не медлил приездом в Петербург».

Эйлер, и правда, благоволил выдвинуть встречные условия:

Пост вице-президента Академии с окладом 3000 рублей;

- ежегодную пенсию 1000 рублей супруге в случае его смерти;

- оплачиваемые должности для троих его сыновей, в том числе пост секретаря Академии для старшего.

Такая дерзость со стороны какого-то математика возмутила представителя императорской администрации, видного российского дипломата графа Воронцова. Однако сама императрица думала по-другому. «Письмо к Вам г. Эйлера, - писала она графу, - доставило мне большое удовольствие, потому что я узнаю из него о желании его снова вступить в мою службу. Конечно, я нахожу его совершенно достойным желаемого звания вице-президента Академии наук, но для этого следует принять некоторые меры, прежде чем я установлю это звание — говорю установлю, так как доныне его не существовало. При настоящем положении дел там нет денег на жалование в 3000 рублей, но для человека с такими достоинствами, как г. Эйлер, я добавлю к академическому жалованию из государственных доходов, что вместе составит требуемые 3000 рублей… Я уверена, что моя Академия возродится из пепла от такого важного приобретения, и заранее поздравляю себя с тем, что возвратила России великого человека».

Получив заверения в том, что все его условия приняты на самом высоком уровне, Эйлер немедленно написал Фридриху заявление с просьбой об отставке. Возможно из-за нежелания отпускать видного ученого, возможно - из-за негативного к нему отношения, а скорее всего - от всего этого вместе, король не просто отказал, а именно проигнорировал обращение Эйлера, не дав на него никакого ответа. Эйлер написал еще одно прошение. С тем же результатом. Тогда математик просто демонстративно прекратил работу в Академии. Наконец, с просьбой отпустить ученого к королю Пруссии обратилась сама Екатерина. Только после такого высокого вмешательства Фридрих разрешил математику покинуть Пруссию.

В июле 1766 года ученый вместе с 17 домочадцами прибыл в Санкт-Петербург. Здесь его сразу приняла сама императрица. И не просто приняла, а пожаловала 8000 рублями на покупку дома и обстановки и даже предоставила в полное его распоряжение одного из своих лучших поваров.

Уже в России Эйлер начал работу над одним из главных своих трудов - «Универсальной арифметикой», издававшейся так же под названиями «Начала алгебры» и «Полный курс алгебры». Причем книга эта была изначально напечатана именно на русском языке, и только через два года - на официально-научном немецком. Мы вполне можем утверждать, что все последующие мировые учебники алгебры основывались именно на этом труде. Сразу за ним Эйлер выпустил еще две масштабных монографии - «Оптика» и «Интегральное исчисление». Когда же он усиленно работал над новым своим большим трудом «Новой теорией движения Луны», случилась трагедия. По Санкт-Петербургу прошел большой пожар, уничтоживший более ста домов. В эту сотню попал и дом Эйлера на Васильевском острове. К счастью, ученый успел спасти большую часть своих рукописей. То же, что спасти не удалось, он в короткий срок восстановил, надиктовав тексты по памяти.

Именно надиктовав. Ибо зрение ученого, проводившего сутки напролет за вычислениями и расчетами, находилось в самом критическом состоянии. Врачи-окулисты давно диагностировали у Эйлера быстро прогрессирующую катаракту единственного рабочего левого глаза. Поэтому большую часть своих трудов он уже давно «писал» руками шустрого мальчика-портного. Знавшая об этом императрица Екатерина специально для поправки зрения ученого выписала в 1771 году из Берлина лучшего специалиста в этой области - личного окулиста австрийского императора и английского короля барона Венцеля. Операция прошла успешно: Венцель удалил катаракту и предупредил ученого, что первые несколько месяцев ему надо беречься от яркого света и отказаться от чтения, чтобы глаз привык к новому состоянию. Но такая пытка была для ученого абсолютно нестерпимой. Уже через несколько дней он, втайне от домашних, снял повязку и с жадностью накинулся на свежие научные журналы. Результат не замедлил сказаться: вскоре ученый опять потерял зрение, теперь уже окончательно. При этом производительность его труда не только не уменьшилась, но даже выросла. Неисправимый оптимист, он иногда с долей юмора говорил, что потеря зрения пошла ему на пользу: он перестал отвлекаться на внешние красоты, не связанные с математикой.

Вскоре судьба нанесла ему еще один серьезный удар. В 1773 году умерла любимая жена Катарина, с которой он прожил в счастливом браке 40 лет. Но и эта потеря не выбила его из седла. Спустя три года он женился второй раз. На сводной сестре Катарины Саломее. Она во всем напоминала Леонарду почившую супругу и до конца жизни ученого была его верной помощницей.

В начале 1780-х годов Эйлер все чаще стал жаловаться на головные боли и общую слабость. 7 сентября 1883 года он вел послеобеденную беседу с академиком Андреем Лекселем. Оба математики и астрономы, они обсуждали недавно открытую планету Уран и ее орбиту. Внезапно Эйлер почувствовал себя плохо. Он только успел сказать: «Я умираю», после чего сразу потерял сознание. Через несколько часов его не стало. Врачи установили, что смерть произошла от кровоизлияния в мозг.

Похоронили ученого в Петербурге, на лютеранском Смоленском кладбище. На надгробном камне высекли слова: «Здесь покоятся бренные останки мудрого, справедливого, знаменитого Леонарда Эйлера».

Дети математика так и остались в России. Старший сын, тоже талантливый математик и механик Иоганн Эйлер (1734-1800), как и обещала императрица Екатерина, был секретарем Императорской академии наук Младший, Христофор (1743-1808), дослужился до генерал-лейтенанта и командовал Сестрорецким оружейным заводом. Внук, Александр Христофорович (1773-1849) стал генералом от артиллерии, героем Отечественной войны 1812 года. Еще один потомок, правда вернувшийся на родину предков, в Швецию, Ханс Карл Август Симон фон Эйлер-Хельпин (1873-1964) стал известным биохимиком, иностранным членом Академии Наук СССР, лауреатом Нобелевской премии по химии за 1929 год. Другую Нобелевскую премию, только уже в 1970 году, получил его сын, шведский биолог Ульф фон Ойлер (1905-1983).

Леонарду Эйлеру поставлено множество памятников. Его имя носят институты, улицы, научные награды. В его честь отпечатаны марки и монеты, названы астероид и кратер на Луне. Но пожалуй самый оригинальный памятник ученому можно встретить в детских тетрадках. Школьники ведь часто пытаются решить известные задачи: как шахматным конем пройтись по всем клеткам нарисованного квадрата, не проходя через одну и ту же клетку дважды, или как аналогичным образом перейти несколько рек по нескольким мостам. При этом они часто даже не догадываются, что загадал эти задачи, и не только загадал, но и нашел почти три столетия назад исчерпывающий алгоритм их решения, великий русский математик Леонард Эйлер. Которого в России звали Леонтием.

1.Леонард Эйлер

2.Труды Эйлера

2.1Ряд Эйлера-Маклорена

2.2Задача о колебаниях струны. Волновое уравнение

3

4Формула Эйлера

1.Леонард Эйлер

Этот великий ученый несомненно являлся центральной фигурой в науке XVIII столетия, и мы прежде всего познакомимся с его жизненным путем и творчеством.

Научная деятельность Эйлера продолжалась без перерыва почти шестьдесят лет. С 1726 г. по 1783 г. он вел исследования во всех областях математики и механики XVIII в., а кроме того, во многих отелах астрономии, физики и техники. Его перу принадлежит около 850 научных трудов, среди них примерно два десятка объемистых монографий в одном двух и трех томах. Издание полного собрания его сочинений в трех сериях и более чем в семидесяти томах, начатое в 1911 г., еще не вполне закончено; в него не входят еще многие сотни сохранившихся научных писем Эйлеранередко представляющих собой небольшие статьи, - их предполагается издать в виде четвертой серии. Эйлер был не только величайшим математиком своего времени, которое по всей справедливости можно было бы наименовать в истории физико-математических наук «веком Эйлера» но и крупным организатором работ двух больших академий: Петербургской и Берлинской.

Леонард Эйлер(1707-1783) родился в Базеле и первые уроки математики получил от отца, пастора Пауля Эйлера (1670-1745), обучавшегося этому предмету у И. Бернулли и в 1688 г. защитившего диссертации по теории отношении и пропорций. Отец предназначал сына также в пасторы, но склонность к математике взяла верх. В годы занятий в Базельском университете (1720-1724) Леонард Эйлер дополнительно изучал математику и механику под руководством Иоганна Бернулли. В 1725-1726 гг. молодой дилер выступил с первыми самостоятельными работами об изохронных кривых в сопротивляющейся среде, об одном специальном виде траектории, о наилучшем расположении мачт па корабле (эта работа представленная на конкурс Парижской академии, была принята к печати, хотя и не получила премии), о звуке. Диссертация о звуке была написана в связи с намерением Эйлера участвовать в конкурсе на вакансию профессора физики в Базельском университете. Должности здесь замещались тогда путем жребия среди отобранных кандидатов. Эйлер не был допущен к жеребьевке, вероятно, по молодости. Как пишет его швейцарский биограф О. Шпис, это было для Эйлера счастьем: в то время перед ним открылась более широкая перспектива деятельности.

Действительно, делая попытку устроиться на родине, Эйлер уже имел приглашение в Петербургскую академию наук, которое ему выхлопотали работавшие в ней с 1725 г. сыновья его наставника Даниил и Николай II Бернулли. Эйлер последовал этому приглашению и весной 1727 г. Приехал в русскую столицу. Вначале предполагалось, что он займет свободную должность адъюнкта, т. с. младшего академика, по физиологии с тем, чтобы применить к этой науке математические методы. Перед поездкой Эйлер несколько месяцев штудировал анатомию и медицину, к которым, впрочем, не имел никакого призвания. Но в Петербурге все уладилось наилучшим образом: ему предоставили возможность работать в области математических наук. Несколько позднее это было оформлено официально. В январе1731 г. Эйлер получил место профессора, т. е. академика по физике, а летом 1733 г. заместил уехавшего Д. Бернулли на кафедре математики.

В благоприятных условиях крупной академии, в регулярном общении с другими учеными - математиками, механиками, астрономами, физиками - гениальность Эйлера быстро проявилась во всей полноте. Человек исключительной энергии, он принял активное участие в различных академических мероприятиях, требовавших применения математики: составлении географических карт, различных технических экспертизах, решении многочисленных задач кораблестроения и кораблевождения, в составлении учебных руководств и отзывов на поступавшие сочинения и т. д.

В задачах практики рождались стимулы и для многих теоретических исследований Эйлера, которые составляли главный предмет его неустанных размышлений.

Частью еще в Базеле, но главным образом в первые годы жизни в Петербурге Эйлер наметил обширную программу исследований по математике и механике, которую успешно осуществлял, постоянно ее дополняя, до самых последних дней. Открытия его, печатавшиеся в академических «Записках» со второго их тома за 1727 г. (1729) и нередко получавшие известность еще до публикации благодаря его научной переписке, вскоре привлекли внимание ученого мира Европы. Слава его росла из года в год. Это своеобразно выразил в своих письмах к Эйлеру его прежний наставник Иоганн Бернулли, именуя его в 1728 г. «ученейшим и даровитейшим юным мужем», в 1731 г. «славнейшим и ученейшим господином профессором, дражайший другом» и, наконец, в 1710 г. «главой математиков»(Mathematicorum princeps). В это время Эйлер был членом двух академии - Петербургской и Берлинской. Несколько спустя его избрали своим иностранным членом Лондонское королевское общество (1749) и Парижская академия наук (1755).

Эйлер прожил в Петербурге 14 лет, отмеченных основоположными исследованиями в теории рядов, теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении, теории чисел, динамике точки, теории музыки, в корабельной науке. Только часть подготовленных им в то время рукописей была тогда издана; за эти годы их вышло около 55, в том числе двухтомная «Механика» (1736). Летом 1741 г. Эйлер переехал в Берлин, куда его пригласи! прусский король Фридрих II, желавший поднять на высокий уровень деятельность Берлинской академии наук, влачившей при его предшественнике самое жалкое существование. Эйлер принял приглашение, так как в регентство Анны Леопольдовны, правившей с ноября 1740 г. но декабрь 1741 г., в Петербурге сложилась весьма неустойчивая и беспокойная политическая обстановка, отражавшаяся и на положении дел в Академии наук.

Возглавляя Математический класс в качестве его директора, а в отсутствие президента Мопертюи и ряд лет после его смерти и всю работу Берлинской академии, Эйлер вместе с тем сохранил звание почетного члена Петербургской академии (с постоянной пенсией), фактически же оставался ее иногородним действительным членом. Сил его хватало для совершенно полноценного «совместительства» в двух академиях, свои сочинения он публиковал почти поровну в изданиях обеих и даже обе вместе они не справлялись с своевременной публикацией неиссякаемого потока его трудов. Помимо того, что он выполнял поручения прусского правительства по гидротехнике, баллистике, организации лотерей и проч., он редактировал математические отделы берлинских и петербургских академических записок, годами руководил занятиями живших у него на квартире молодых русских ученых - С.К. Котельникова, С.Я. Румовского, М. Софронова (1729-1760), участвовал в организации научных конкурсов обеих академий, вел живую переписку с немецкими университетскими профессорами и петербургскими академиками, в том числе М.В. Ломоносовым, подыскивал для нашей академии сотрудников, закупал для нее инструменты и книги. Силы Эйлера в зрелые годы кажутся неистощимыми. Продолжая осуществлять планы, намеченные в Петербурге, подготовляя или завершая фундаментальные трактаты по всем отделам анализа, он включает в круг занятий новые вопросы алгебры и теории чисел, эллиптические интегралы, уравнения математической физики, тригонометрические ряды, дифференциальную геометрию поверхностей, задачи топологии, механику твердого тела, гидродинамику, теорию движения Луны и планет, оптику, магнетизм и в каждой из перечисленных областей получает значительные и нередко первостепенные результаты.

В это же время Эйлеру пришлось участвовать в нескольких важных дискуссиях, из которых мы назовем, по крайней мере, три:

) знаменитый спор по природе функций, входящих в решение дифференциального уравнения колеблющейся струны, в котором участвовали, кроме него, сперва Даламбер и Д. Бернулли, а затем втянулись и другие крупнейшие математики;

) спор с Даламбером о логарифмах отрицательных чисел и, наконец,

На годы берлинской жизни приходится издание таких больших монографий Эйлера, как «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума» (Лозанна-Женева, 1744), «Новые принципы артиллерии» (Берлин, 1745) двухтомное «Введение в анализ бесконечных» (Лозанна, 1748), двухтомная «Морская наука» (Петербург,1740), изданные в Берлине за счет Петербургской академии «Теория движения Луны» (1753), «Дифференциальное исчисление» (1755) и «Теория движения твердых тел» (Росток-Грейфсвальд, 1705) - в общей сложности всего около 260 работ.

Петербургская академия не раз ставила перед Эйлером вопрос о его возвращении. В 60-е годы отношения между Эйлером и Фридрихом II, и ранее не питавшими взаимной симпатии, резко ухудшились. Эйлер, швейцарский бюргер, воспитанный в протестантской традиции, и Фридрих II, прусский абсолютный монарх, поклонник вольтерианского вольнодумства, расходились в очень многом, в том числе и в отношении к математике, которая была для Эйлера делом всей его жизни и в которой король, почти вовсе не знавший ее, ценил только непосредственные и немедленные практические приложения.

После смерти в 1759 г. Мопертюи король предложил место президента Даламберу, а когда тот отказался, поручил Эйлеру управлять академией без президентского титула и под своим личным руководством. Разногласия в некоторых финансовых и административных вопросах повлекли за собой разрыв между ученым и королем. Используя свое швейцарское подданство и поддержку русского правительства, Эйлер добился отставки и летом 1760 г. навсегда вернулся в Петербург.

Идейный порыв Эйлера в молодые и зрелые лета продолжал давать великолепные результаты и в старости. Добавим, что около 300 статей и фрагментов увидело свет уже после его смерти.

При всем многообразии интересов Эйлера центральное место в них принадлежит анализу. Из 30 томов математической серии его собрания сочинений 19 отведено анализу, за этим идут теория чисел, геометрия, алгебра и комбинаторика с теорией вероятностей. К тому же большинство геометрических работ Эйлера посвящено исследованию кривых и поверхностей с помощью алгебры и исчисления бесконечно малых, а многие труды его по механике (их также 30томов) содержат новые математические приемы решения дифференциальных уравнений, интегрирования функций и т. д. В наших курсах анализа большое число формул и методов до сих пор носит имя Эйлера, и оно встречается, пожалуй, чаще других имен. По, помимо отдельных приемов и формул, мы обязаны Эйлеру основанием нескольких больших дисциплин, которые лишь в зачаточной форме существовали ранее: теории дифференциальных уравнений - обыкновенных и с частными производными, вариационного исчисления, элементарной теории функций комплексного переменного. И он же положил начало теории суммирования рядов, разложениям функций в тригонометрические ряды, теории специальных функций и определенных интегралов, дифференциальной геометрии поверхностей и, наконец, теории чисел, как особой науке.

В речи памяти Эйлера, произнесенной в Парижской академии наук, Кондорсе, описывая последние часы жизни Эйлера, сказал, что он кончил «вычислить и жить». Эйлер, в самом деле, был неутомимым «вычислителем» как в узком, так и в широком смысле слова и, пожалуй, как никто, владел техникой расчетов. Эта особенность его гения отвечала потребности науки того времени, особенно нуждавшейся в быстром развитии формального аналитического аппарата. Но Эйлер был и мыслителем, внесшим огромный вклад в разработку фундаментальных идей математики, без чего также невозможно было се развитие, таких, как понятия числа, функции, функционала, суммы ряда, интеграла, решения дифференциального уравнения и т. д.

Вместе с тем оп создавал новую алгебраически-арифметическую архитектуру анализа. Правда, Эйлер уступал в построении обобщающих концепций более молодому Лагранжу, который ярче отразил в своей теории аналитических функций и аналитической механике духовные устремления эпохи просвещения, в других сферах мышления приведших к созданию новых больших философских, исторических, социально-политических систем. Не следует, однако, забывать, что Лагранж во многом непосредственно следовал за Эйлером, углубляя и совершенствуя его методы и концепции.

Влияние Эйлера было исключительно велико. Лаплас повторял молодым математикам: читайте Эйлера, он наш общий учитель. Прямых учеников у Эйлера было немного, по его труды были настольными в XVIII в. и далеко за его пределами для всех творческих математиков, а работу многих он непосредственно направлял путем переписки. Эйлер охотно и щедро делился своими мыслями и к нему применимы слова, сказанные Фонтенелем о Лейбнице: «он любил наблюдать, как расцветают в чужом саду растения, семена которых он сам доставил».

Можно сделать вывод о том, что влияние Эйлера было очень велико.

эйлер математика физика астрономия

2.Труды Эйлера

2.1Ряд Эйлера-Маклорена

Эйлер и независимо от него, Маклорен открыли общий прием суммирования, примерами которого являются результаты Ньютона и Стирлинга и который выражает частную сумму бесконечного ряда sn = ∑ u (k) через другой ряд, члены которого содержат общий член u (n), его интеграл и производные. Впервые Эйлер привел формулу суммирования без доказательства и примеров употребления в работе 1732 г. «Общий метод суммирования рядов» (Methodus generalis summandi progressiones. Commentarii, (1732 -1733) 1738), вывод ее дан в статье «Отыскание суммы ряда по данному общему члену», представленной Петербургской академии в 1735 г. (Inventiosummae enjusque seriei ex dato termino generali. Commentarii, (1736-1741).

Мы упоминали эту статью в связи с тем, что в ней ряд Тейлора записал в дифференциальных обозначениях. Обозначая общий член ряда X и сумму его х членов S, Эйлер разложил S (х-1) в ряд Тейлора, а X в ряд, из которого затем получил выражение S через X и его производные. Для этого он представил dS/dx рядом с неопределенными коэффициентами вида, так что

(постоянная интегрирования удовлетворяет тому условию, что при х = 0 также X = 0 и S = 0). Далее он дифференцированием нашел выраженние для d2S/dx2, d3S/dx3 и т. д. и подставил их, вместе с выражением для dS/dx, в разложение функции X, после чего, применяя метод неопределенных коэффициентов, получил уравнения, определяющие каждое из чисел α, β, γ, δ, ε.... через все предшествующие (считая после первогоα); это позволяет последовательно вычислить

α = 1, β = 1/2, γ = 1/l2,δ = 0, е = - 1/720, и т. д.

Еще раньше Эйлер обнаружил, что отношение двух последовательных чисел Бернулли B2n+2:B2n c ростом индекса неограниченно возрастает по абсолютной величине (Commentarii, (1739-1750). Поэтому бесконечный ряд Эйлера-Маклорена, вообще говоря, расходится. Тем не менее, формула суммирования может доставлять превосходные приближения, если ограничиваться частными суммами ряда с надлежащим числом членов. В только что упомянутой статье Эйлер дал новый способ вычисления π, исходя из равенства arctg, приближенной замены интеграла на сумму и оценки разности arctg t - S по формуле суммирования.

Полагая t = 1, Эйлер получил и при n = 5 подсчитал 12 верных десятичных знаков. Особенности поведения ряда он охарактеризовал при этом исчерпывающим образом и указал, что для приближенного вычисления следует взять сумму тех первых членов ряда, которые убывают до наименьшего включительно. Он даже сделал попытку оценить в данном случае степень приближения по числу использованных членов и первому отброшенному члену, но приведенную им оценку не обосновал.

Асимптотические ряды получили важные применения также у Лагранжа, Лапласа, Лежандра, который назвал эти ряда полусходящимися (series demi-convergentes), и других ученых. Впоследствии их изучали Коши, Пуассон, которые дали первые выражения остаточного члена, Якоби, Лобачевский, Остроградский и т. д. В широком плане к построению теории асимптотических разложений приступил Л. Пуанкаре (1886).Сама формула суммирования Эйлера - Маклорена является теперь однойиз основных в теории конечных разностей и ее приложениях.

2Задача о колебаниях струны. Волновое уравнение (решение Эйлера).

В только что названной статье Эйлер сначала выводит уравнение (1) колебания струны. Затем он формулирует требование отыскания общего решения этого уравнения при произвольно заданной фигуре струны. О начальной скорости струны прямо не говорится, но из дальнейших выкладок вытекает, что она считается равной пулю. При этих условиях Эйлер нашел решение, которое, по его собственному признанию, по форме существенно не отличается от решения Даламбера. Эйлер решил уравнение (1) при любом постоянном а, и потому его решение имеет вид

у = φ (х + at) + ψ(х - at),(2)

где φ и ψ - функции, определяемые из граничных и начальных условий задачи так же, как это сделано у Даламбера.

В 1766 г. Эйлер предложил новый метод решения уравнения колебании струны, вошедший затем в третий том его «Интегрального исчисления» (1770), а позднее - во все учебники по дифференциальным уравнениям. Вводя новые координаты:

u= х + at, v = х - at,

он преобразовал уравнение (1) колебания струны к легко интегрируемому виду

По современной терминологии координаты u и v Эйлера называются характеристическими. В этих координатах от вторых производных функции остается только смешанная производная.

Эйлер первый понял, что уравнение колебания струны отражает процесс распространения волн. Волной при этом называют процесс передвижения отклонения какой-либо точки струны по струне.

3Обобщение Эйлером теоремы Ферма

В последней статье Эйлер обобщил теорему Ферма, установив (в обозначениях, ведущих свое происхождение от Гаусса), что

aφ(m) ≡ 1 (mod m),

где φ(m) есть число чисел, взаимно простых с m и меньших m.Встречающееся здесь число φ (m), которое по предложению Гаусса называют теперь «функцией Эйлера», последний представил в той же работе в виде

φ (m)=m(1-1/p) (1-1/p,)…,

где р, p,,… - простые делители числа m. Если m само есть простое число, то числа 1, 2, 3,..., (р - 1) будут с ним взаимно простыми, и получается важная теорема, высказанная Дж. Вильсоном и опубликованная в 1770 Варингом в его «Алгебраических размышлениях».Теорема эта гласит, что величина 1*2*3... (р-1)+1 делится без остатка на p, где р, как и всюду здесь, - простое число. Эта теорема, как и теорема Ферма, заключается в установленном Лагранжем общем сравнении

xp-1 - 1 ≡ (x + l) (x + 2)...(x + р - 1) (mod р)

при x = 0. Она была также доказана Эйлером («Аналитические сочинения», I, 1783) и Гауссом («Арифметические исследования», 1801). Упрощенное доказательство теоремы Ферма дал еще И.Г. Ламберт, охотно занимавшийся и теорией чисел (Nov. Acta Enid., 1769).

К важнейшим достижениям в исследовании целых чисел Эйлера привели старания доказать другую, упоминавшуюся уже, теорему Ферма о том, что всякое простое число вида 4т + 1 разбивается на сумму двух квадратов. Эйлер многократно и с различных сторон подходил к этой теореме и при этом нашел ряд интересных предложений. Окончательно доказать ее Эйлеру удалось лишь в 1749 , воспользовавшись тем ходом мыслей, которым он шел в первом доказательстве теоремы о сравнении аm ≡ 1 (mod р). Это привело его к рассмотрению остатков от деления квадратов 12, 22, З2,..., (р-1)2на простое число р. Эйлер немедленно увидел, что при этом получаются «многие замечательные свойства, изучение которых проливает немало света на природу чисел». Таким образом, он впервые поставил вопрос о квадратичных вычетах и понял их значение. Здесь уже встречаются и термины: вычеты (residua) и невычеты (поп residua).

4Формула Эйлера

Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями. Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство:

eix = cosx + isinx

Формула Эйлера впервые была приведена в книге «Гармония мер» английского математика, помощника Ньютона, Роджера Котса (1722 год, издана посмертно). Котс открыл формулу около 1714 года и выразил её в логарифмической форме:

ln(cosx + isinx) = ix

Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (1748), построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах как точках на комплексной плоскости появилось примерно 50 лет спустя.

Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера.

Пусть комплексное число z в тригонометрической форме имеет вид

z = r(cosφ + isinφ)

На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим:

z = reiφ

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь

r = |z|, φ = argz

Cписок использовавшихся источников

1.Юшкевич А.П., История математики с древнейших времен до начала XIX столетия/ А.П. Юшкевич.- М.: Наука, 1972. - 496

2.Юшкевич А. П., История математики от Декарта до середины XIX столетия/ А.П. Юшкевич.- М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. - 467

.http://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_Эйлера

За время существования Академии наук в России, видимо, одним из самых знаменитых ее членов был математик Леонард Эйлер (1707-1783).

Он стал первым, кто в своих работах начал возводить последовательное здание анализа бесконечно малых. Только после его исследований, изложенных в грандиозных томах его трилогии «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление», анализ стал вполне оформившейся наукой - одним из самых глубоких научных достижений человечества.

Леонард Эйлер родился в швейцарском городе Базеле 15 апреля 1707 года. Отец его, Павел Эйлер, был пастором в Рихене (близ Базеля) и имел некоторые познания в математике. Отец предназначал своего сына к духовной карьере, но сам, интересуясь математикой, преподавал ее и сыну, надеясь, что она ему впоследствии пригодится в качестве интересного и полезного занятия. По окончании домашнего обучения тринадцатилетний Леонард был отправлен отцом в Базель для слушания философии.

Среди других предметов на этом факультете изучались элементарная математика и астрономия, которые преподавал Иоганн Бернулли Вскоре Бернулли заметил талантливость юного слушателя и начал заниматься с ним отдельно.

Получив в 1723 году степень магистра, после произнесения речи на латинском языке о философии Декарта и Ньютона, Леонард, по желанию своего отца, приступил к изучению восточных языков и богословия. Но его все больше влекло к математике. Эйлер стал бывать в доме свое учителя, и между ним и сыновьями Иоганна Бернулли - Николаем
Даниилом - возникла дружба, сыгравшая очень большую роль в жизни Эйлера.

В 1725 году братья Бернулли были приглашены в члены Петербургской академии наук, недавно основанной императрицей Екатериной I. Уезжая, Бернулли обещали Леонарду известить его, если найдется и для него подходящее занятие в России. На следующий год они сообщили, что для Эйлера есть место, но, однако, в качестве физиолога при медицинском отделении академии. Узнав об этом, Леонард немедленно записался в студенты медицины Базельского университета. Прилежно и успешно изучая
науки медицинского факультета, Эйлер находит время и для математических занятий. За это время он написал напечатанную потом, в 1727 году, в Базеле диссертацию о распространении звука и исследование по вопросу размещении мачт на корабле.

В Петербурге имелись самые благоприятные условия для расцвета гения Эйлера: материальная обеспеченность, возможность заниматься любимым делом, наличие ежегодного журнала для публикации трудов. Здесь же работала самая большая тогда в мире группа специалистов в области математических наук, в которую входили Даниил Бернулли (его брат Николай скончался в 1726 году), разносторонний X. Гольдбах, с которым Эйлера связывали общие интересы к теории чисел и другим вопросам, автор работ по тригонометрии Ф.Х. Майера, астроном и географ Ж.Н. Делиль, математик и физик Г. В. Крафт и другие. С этого времени Петербургская Академия стала одним из главных центров математики в мире.

Открытия Эйлера, которые благодаря его оживленной переписке нередко становились известными задолго до издания, делают его имя все более широко известным. Улучшается его положение в Академии наук: в 1727 году он начал работу в звании адъюнкта, то есть младшего по рангу академика, а в 1731 году он стал профессором физики, т. е. действительным членом Академии. В 1733 году получил кафедру высшей математики, которую до него занимал Д. Бернулли, возвратившийся в том же году в Базель. Рост авторитета Эйлера нашел своеобразное отражение в письмах к нему его учителя Иоганна Бернулли. В 1728 году Бернулли обращается к «ученейшему и даровитейшему юному мужу Леонарду Эйлеру», в 1737 году - к «знаменитейшему и остроумнейшему математику», а в 1745 году - к «несравненному Леонарду Эйлеру - главе математиков».

В 1735 году академии потребовалось выполнить весьма сложную работу по расчету траектории кометы. По мнению академиков, на это нужно было употребить несколько месяцев труда. Эйлер взялся выполнить это в три дня и исполнил работу, но вследствие этого заболел нервною горячкою с воспалением правого глаза, которого он и лишился. Вскоре после этого, в 1736 году, появились два тома его аналитической механики. Потребность в этой книге была большая; немало было написано статей по разным вопросам механики, но хорошего трактата по механике не имелось.

В 1738 году появились две части введения в арифметику на немецком языке, в 1739 году - новая теория музыки. Затем в 1840 году Эйлер написал сочинение о приливах и отливах морей, увенчанное одной третью премии Французской академии; две других трети были присуждены Даниилу Бернулли и Маклорену за сочинения на ту же тему.

В конце 1740 года власть в России попала в руки регентши Анны Леопольдовны и ее окружения. В столице сложилась тревожная обстановка. В это время прусский король Фридрих II задумал возродить основанное еще Лейбницем Общество наук в Берлине, долгие годы почти бездействовавшее. Через своего посла в Петербурге король пригласил Эйлера в Берлин. Эйлер, считая, что «положение начало представляться довольно
неуверенным», приглашение принял.

В Берлине Эйлер поначалу собрал около себя небольшое ученое общество, а затем был приглашен в состав вновь восстановленной Королевской академии наук и назначен деканом математического отделения. В 1743 году он издал пять своих мемуаров, из них четыре по математике. Один из этих трудов замечателен в двух отношениях. В нем указывается на способ интегрирования рациональных дробей путем разложения их на
частные дроби и, кроме того, излагается обычный теперь способ интегрирования линейных обыкновенных уравнений высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Вообще большинство работ Эйлера посвящено анализу. Эйлер так упростил и дополнил целые большие отделы анализа бесконечно малых, интегрирования функций, теории рядов, дифференциальных уравнений, начатые уже до него, что они приобрели примерно ту форму, которая занимала в большой мере сохраняется и до сих пор. Эйлер, кроме того, начал целую новую главу анализа - вариационное исчисление. Это его начинание вскоре подхватил Лагранж и таким образом сложилась новая наука.

В 1744 году Эйлер напечатал в Берлине три сочинения о движении светил: первое - теория движения планет и комет, заключающая в себе изложение способа определения орбит из нескольких наблюдений; второе и третье - о движении комет.

Семьдесят пять работ Эйлер посвятил геометрии. Часть из них хотя и любопытна, но не очень важна. Некоторые же просто составили эпоху. Во-первых, Эйлера надо считать одним из зачинателей исследований по геометрии в пространстве вообще. Он первый дал связное изложение аналитической геометрии в пространстве (во «Введении в анализ») и, в частности, ввел так называемые углы Эйлера, позволяющие изучать повороты
тела вокруг точки.

В работе 1752 года «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями», Эйлер нашел соотношение между числом вершин, ребер и граней многогранника: сумма числа вершин и граней равна числу ребер плюс два. Такое соотношение предполагал еще Декарт, но Эйлер доказал его в своих мемуарах Это в некотором смысле первая в истории математики крупная теорема топологии - самой глубокой части геометрии.

Занимаясь вопросами о преломлении лучей света и написав немало мемуаров об этом предмете, Эйлер издал в 1762 году сочинение, в котором предлагается устройство сложных объективов с целью уменьшения хроматической аберрации. Английский художник Долдонд, открывший два различной преломляемости сорта стекла, следуя указаниям Эйлера, построил первые ахроматические объективы.

В 1765 году Эйлер написал сочинение, где решает дифференциальные уравнения вращения твердого тела, которые носят название Эйлеровых уравнений вращения твердого тела.

Много написал ученый сочинений об изгибе и колебании упругих стержней. Вопросы эти интересны не только в математическом, но и в практическом отношении.

Фридрих Великий давал ученому поручения чисто инженерного характера. Так, в 1749 году он поручил ему осмотреть канал Фуно между Гавелом и Одером и дать рекомендации по исправлению недостатков этого водного пути. Далее ему поручено было исправить водоснабжение в Сан-Суси.

Результатом этого стало более двадцати мемуаров по гидравлике, написанных Эйлером в разное время. Уравнения гидродинамики первого порядка с частными производными от проекций скорости, плотности к давлению называются гидродинамическими уравнениями Эйлера.

Покинув Петербург, Эйлер сохранил самую тесную связь с русской Академией наук, в том числе официальную: он был назначен почетным членом, и ему была определена крупная ежегодная пенсия, а он, со своей стороны, взял на себя обязательства в отношении дальнейшего сотрудничества. Он закупал для нашей Академии книги, физические и астрономические приборы, подбирал в других странах сотрудников, сообщая подробнейшие характеристики возможных кандидатов, редактировал математический отдел академических записок, выступал как арбитр в научных
спорах между петербургскими учеными, присылал темы для научных конкурсов, а также информацию о новых научных открытиях и т. д. В доме Эйлера в Берлине жили студенты из России: М. Софронов, С Котельников, С. Румовский, последние позднее стали академиками.

Из Берлина Эйлер, в частности, вел переписку с Ломоносовым, в творчестве которого он высоко ценил счастливое сочетание теории с экспериментом. В 1747 году он дал блестящий отзыв о присланных ему на заключение статьях Ломоносова по физике и химии, чем немало разочаровал влиятельного академического чиновника Шумахера, крайне враждебно относившегося к Ломоносову.

В переписке Эйлера с его другом академиком Петербургской академии наук Гольдбахом мы находим две знаменитые «задачи Гольдбаха»: доказать, что всякое нечетное натуральное число есть сумма трех простых чисел, а всякое четное - двух. Первое из этих утверждений было при помощи весьма замечательного метода доказано уже в наше время (1937) академиком И. М. Виноградовым, а второе не доказано до сих пор.

Эйлера тянуло назад в Россию. В 1766 году он получил через посла в Берлине, князя Долгорукова, приглашение императрицы Екатерины II вернуться в Академию наук на любых условиях. Несмотря на уговоры остаться, он принял приглашение и в июне прибыл в Петербург.

Императрица предоставила Эйлеру средства на покупку дома. Старший из его сыновей Иоганн Альбрехт стал академиком в области физики, Карл занял высокую должность в медицинском ведомстве, Христофора, родившегося в Берлине, Фридрих II долго не отпускал с военной службы, и потребовалось вмешательство Екатерины II, чтобы тот смог приехать к отцу. Христофор был назначен директором Сестрорецкого оружейного
завода.

Еще в 1738 году Эйлер ослеп на один глаз, а в 1771-м после операции почти совсем потерял зрение и мог писать только мелом на черной доске, но благодаря ученикам и помощникам. И.А Эйлеру, А И. Локселю, В.Л. Крафту, С.К. Котельникову, М.Е. Головину, а главное Н И Фуссу, прибывшему из Базеля, продолжал работать не менее интенсивно, чем раньше.

Эйлер, при своих гениальных способностях и замечательной памяти, продолжал работать, диктовать свои новые мемуары. Только с 1769 по 1783 год Эйлер продиктовал около 380 статей и сочинений, а за свою жизнь написал около 900 научных работ.

Работа 1769 года «Об ортогональных траекториях» Эйлера содержит блестящие соображения о получении с помощью функции комплексной переменной из уравнений двух взаимно ортогональных семейств кривых на поверхности (т. е. таких линий, как меридианы и параллели на сфере) бесконечного числа других взаимно ортогональных семейств. Работа эта в истории математики оказалась очень важной.

В следующей работе 1771 года «О телах, поверхность которых может быть развернута в плоскость» Эйлер доказывает знаменитую теорему о том, что любая поверхность, которую можно получить лишь изгибая плоскость, но не растягивая ее и не сжимая, если она не коническая и не цилиндрическая, представляет собой совокупность касательных к некоторой пространственной кривой.

Столь же замечательны работы Эйлера по картографическим проекциям.

Можно себе представить, каким откровением для математиков той эпохи явились хотя бы работы Эйлера о кривизне поверхностей и о развертывающихся поверхностях. Работы же, в которых Эйлер исследует отображения поверхности, сохраняющие подобие в малом (конформные отображения), основанные на теории функций комплексного переменного,
должны были казаться прямо-таки трансцендентными А работа о многогранниках начинала совсем новую часть геометрии и по своей принципиальности и глубине стояла в ряду с открытиями Евклида.

Неутомимость и настойчивость в научных исследованиях Эйлера были таковы, что в 1773 году, когда сгорел его дом и погибло почти все имущество его семейства, он и после этого несчастья продолжал диктовать свои исследования. Вскоре после пожара искусный окулист, барон Вентцель, произвел операцию снятия катаракты, но Эйлер не выдержал надлежащего времени без чтения и ослеп окончательно.

В том же 1773 году умерла жена Эйлера, с которой он прожил сорок лет. Через три года он вступил в брак с ее сестрой, Саломеей Гзелль Завидное здоровье и счастливый характер помогали Эйлеру «противостоять ударам судьбы, которые выпали на его долю. Всегда ровное настроение, мягкая и естественная бодрость, какая-то добродушная насмешливость, умение наивно и забавно рассказывать делали разговор с ним столь
же приятным, сколь и желанным...» Он мог иногда вспылить, но «был не
способен долго питать против кого-либо злобу.. » - вспоминал Н И Фусс.

Эйлера постоянно окружали многочисленные внуки, часто на руках у него сидел ребенок, а на шее лежала кошка. Он сам занимался с детьми математикой. И все это не мешало ему работать.

18 сентября 1783 года Эйлер скончался от апоплексического удара в присутствии своих помощников профессоров Крафта и Лекселя. Он был похоронен на Смоленском лютеранском кладбище Академия заказала известному скульптору Ж.Д. Рашетту, хорошо знавшему Эйлера, мраморный бюст покойного, а княгиня Дашкова подарила мраморный пьедестал.

До конца XVIII века конференц-секретарем Академии оставался И.А. Эйлер, которого сменил Н.И. Фусс, женившийся на дочери последнего, а в 1826 году - сын Фусса Павел Николаевич, так что организационной стороной жизни Академии около ста лет ведали потомки Леонарда Эйлера. Эйлеровские традиции оказали сильное влияние и на учеников
Чебышева: A.M. Ляпунова, А.Н. Коркина, Е.И. Золотарева, А.А. Маркова и других, определив основные черты петербургской математической школы.

Нет ученого, имя которого упоминалось бы в учебной математической литературе столь же часто, как имя Эйлера. Даже в средней школе логарифмы и тригонометрию изучают до сих пор в значительной степени «по Эйлеру».

Эйлер нашел доказательства всех теорем Ферма, показал неверность одной из них, а знаменитую Великую теорему Ферма доказал для «трех» и «четырех». Он также доказал, что всякое простое число вида 4п+1 всегда разлагается на сумму квадратов других двух чисел.

Эйлер начал последовательно строить элементарную теорию чисел. Начав с теории степенных вычетов, он затем занялся квадратичными вычетами. Это так называемый квадратичный закон взаимности. Эйлер также много лет занимался решением неопределенных уравнений второй степени с двумя неизвестными.

Во всех этих трех фундаментальных вопросах, которые больше двух столетий после Эйлера и составляли основной объем элементарной теории чисел, ученый ушел очень далеко, однако во всех трех его постигла неудача. Полное доказательство получили Гаусс и Лагранж.

Эйлеру принадлежит инициатива создания и второй части теории чисел - аналитической теории чисел, в которой глубочайшие тайны целых чисел, например распределение простых чисел в ряду всех натуральных чисел, получаются из рассмотрения свойств некоторых аналитических функций.

Созданная Эйлером аналитическая теория чисел продолжает развиваться и в наши дни.