Анализ денежных потоков: постнумерандо, пренумерандо. Оценка аннуитетов. Аннуитеты в мсфо Учет особенностей начисления процентов и поступления платежей

Необходимо заметить, что при одинаковых периодах потоков денег коэффициенты настоящей и будущей стоимости ренты постнумерандо, выплачиваемой с настоящего периода, совпадает с соответствующими коэффициентами ренты пренумерандо, выплачиваемой с будущего периода.

Пример. Инвестор в начале года кладет определенную сумму денег на банковский счет, по которому банк обещает выплачивать из расчета 80% годовых. Он рассчитывает ежегодно в течение 10 лет, начиная со следующего года получать 5 млн руб. Надо определить необходимую сумму вклада.

Поскольку инвестор собирается ежегодно снимать со счета деньги равными суммами в начале года, то речь идет о ренте пренумерандо, выплачиваемой с будущего года. Для определения суммы вклада необходимо найти настоящую стоимость данного вклада с ежегодным платежом С = 5 млн руб., периодом Т = 10 лет и ставкой доходности Е = 80%. Тогда в соответствии с формулой, представленной в таблице 19.2, получим

Таким образом, при ставке доходности 80% годовых и вкладе в банк 6,2325 млн руб. можно снимать в течение 10 лет ежегодно 5 млн руб. Если ставка доходности повышается, к примеру до 180%, то сумма вклада составит

Расчеты также показывают, что если ставка банковского процента меньше 100%, то настоящая стоимость ренты (сумма вклада), выплачиваемой с будущего периода банком, больше рентного платежа. Если же она больше 100%, то, наоборот, настоящая сумма вклада меньше рентного платежа.

Определим будущую стоимость той же ренты с ежегодным платежом 5 млн руб. при тех же условиях банка. Такая задача каждый раз возникает в тех случаях, когда надо определить будущую стоимость ренты пренумерандо. Используя формулы, приведенные в таблице 19.2, получим

Из приведенного расчета видно, что если в начале каждого года вносить в банк 5 млн руб., то за период времени Т = 10 лет при Е = 80% на счете инвестора окажется 2225,292 млн руб.

Если же ставку банковского процента увеличить, к примеру в 2,25 раза, т.е. до Е = 180%, то будущая стоимость ренты увеличится в 37 раз и составит

Рассмотрим пример расчета ренты пренумерандо, выплачиваемой с настоящего периода.

Пример. Инвестор вносит в банк в начале каждого года в течение 12 лет 0,5 млн руб. Надо определить, какая сумма средств окажется на его счете, если ставка банковского процента составляет 180% годовых. Для расчета используем формулу, приведенную в табл. 19.2.

Существуют и другие возможности оценки инвестиций эффективности на основе ренты пренумерандо.

В зависимости от срока, объема денежных поступлений и начисляемых при этом процентов аннуитеты могут быть:

· срочные;

· с изменяющейся величиной платежа;

· бессрочные.

Если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет (А) называется срочным. В этом случае:

Примером срочного аннуитета могут служить регулярно поступающие рентные платежи за пользование сданным в аренду земельным участком в случае, если договором предусматривается регулярная оплата аренды по истечении очередного периода. В качестве срочного пренумерандо может выступать, к примеру, схема периодических денежных вкладов на банковский счет в начале каждого месяца с целью накопления достаточной суммы для крупной покупки. Наращенный денежный поток для исходного положения потока постнумерандо имеет вид:

Прямая задача оценки срочного аннуитета при заданных величинах регулярного поступления (А) и процентной ставки (Е) предполагает оценку будущей стоимости аннуитета. При этом наращенный денежный поток имеет вид:

Входящий в формулу множитель [(1 + Е) Т - 1]/Е называется коэффициентом наращения ренты для аннуитета, или коэффициентом наращения аннуитета. Он представляет собой сумму п первых членов геометрической прогрессии, начинающейся с 1 и знаменателем (1 + Е ).

Из формулы (19.24) следует, что [(1 + Е) Т - 1]/Е показывает, во сколько раз наращенная сумма аннуитета больше величины денежного поступления А. В связи с этим множитель называют коэффициентом аккумуляции вкладов.

Отметим, что формула (19.24) охватывает также и граничные случаи. Например, при одном денежном поступлении (Т = 1):

а при Е = 0 не происходит никаких начислений, т.е. денежные поступления просто суммируются.

Экономический смысл коэффициента наращения ренты состоит в том, что он показывает: чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную величину (например, один рубль) к концу срока его действия. При этом предполагается, что производится только начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Коэффициент наращения ренты весьма часто используется в финансовых расчетах. Его значение зависит от процентной ставки (Е) и срока (п ) действия аннуитета. Причем при увеличении каждого из этих параметров величина множителя также прирастает.

Пример. Вам предлагают сдать в аренду здание на три года, выбрав один из двух вариантов оплаты аренды:

а) 100 тыс. руб. в конце каждого года;

б) 350 тыс. в конце трехлетнего периода.

Какой вариант будет более предпочтителен, если банк предлагает 20% годовых по вкладам?

Первый как раз и представляет собой аннуитет постнумерандо при Т = 3 и А = 100 тыс. руб. В этом случае имеется возможность ежегодного получения арендного платежа и инвестирования полученных сумм как минимум на условиях 20% годовых (например, вложение в банк). К концу трехлетнего периода по расчетам по формуле 19.24 накопленная сумма составит:

Таким образом, расчет показывает, что первый вариант более предпочтителен, чем второй, поскольку 364 тыс. руб. > 350 тыс. руб.

Обратная задача оценки срочного аннуитета постнумерандо сводится к определению будущих поступлений с позиций текущего момента, под которым в данном случае понимается момент времени, начиная с которого определяются равные временные интервалы, входящие в аннуитет. Схема дисконтирования денежных потоков приведена ранее (см. рис. 19.1).

Используя данные указанного примера, получим сумму денежного потока постнумерандо в начальном периоде (текущую стоимость):

Коэффициент дисконтирования ренты (аннуитета) или коэффициент наращения ренты

показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы (например, один рубль), продолжающегося п равных периодов с заданной процентной ставкой Е.

Так, для указанного примера при Е = 20% PV = 211,11 тыс. руб. При одном денежном поступлении и Е = 0, PV = FV.

Дисконтирующий множитель представляет определенный практический интерес при помещении капитала под сложный процентную ставку Е в банк. Тем самым можно обеспечить регулярные выплаты в размере одной денежной единицы в течение п периодов. При этом выплаты производятся в конце каждого периода. Тогда будущая стоимость аннуитета пренумерандо может быть найдена по формуле:

Аналогично полученному значению может быть найдена приведенная стоимость аннуитета пренумерандо:

Рассмотрим следующий пример.

Пример. Предположим, что Вам предложено инвестировать 100 тыс. руб. на срок 5 лет при условии возврата ежегодно этой суммы частями по 20 тыс. руб. По истечении пяти лет выплачивается ежегодное вознаграждение в размере 30 тыс. руб. Надо ли принимать это предложение, если можно положить их в банк под 12% годовых?

Для принятия решения необходимо сравнить поступления денег между собой от этих вариантов.

От альтернативного варианта помещения денег на срочный депозит в конце пятилетнего периода получим

FV = 100 (1 + 0,12) 5 = 176,23 тыс. руб.

Денежный поток при этом можно представить двояко:

а) как срочный аннуитет постнумерандо с А = 20, п = 5, Е = 20% и единовременное получение суммы в размере 30 тыс. руб.;

б) срочный аннуитет пренумерандо с А = 20, п = 4, Е = 20% и единовременное получение сумм в размере 20 и 30 тыс. руб.

Тогда по формуле (19.25) в первом случае получим 157,06 тыс. руб.

Во втором случае по формуле (19.26) получим 157,06 тыс. руб.

Оба эти варианта привели к одинаковому результату.

Следовательно, предложение экономически невыгодно.

В ряде случаев при формировании денежных средств для реализации инвестиционного проекта определенный интерес представляет метод депозитной книжки. Суть ее заключается в том, что сумма, положенная на депозит, приносит доход в виде банковских процентов. При снятии с депозита некоторой суммы базовая величина, с которой начисляются проценты, уменьшается. Чаще всего такая ситуация и имеет место в случае с аннуитетом. Следовательно, под текущей стоимостью аннуитета можно понимать величину депозита с общей суммой причитающихся начисляемых процентов, которая ежегодно уменьшается па равные суммы. При этом сумма годового платежа включает в себя начисленные за очередной период проценты, а также некоторую часть основной суммы долга. В результате погашение исходного долга осуществляется в течение всего срока аннуитета. Соответственно структура годового платежа постоянно меняется по мере сокращения долга и суммы от начисленных процентов.

Рассмотрим следующий пример.

Пример. Инвестор для расчетов с исполнителями инвестиционного проекта положил на депозитный счет 30 тыс. руб. на пять лет под 13%, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Рассчитываться с исполнителями проекта надо равными суммами в конце каждого года.

Если обозначить за А величину искомого платежа, то данные соглашение с банком можно представить в виде следующей схемы (рис. 19.3)

С позиций инвестора указанная схема на рис. 19.3 представляет собой последовательность расчета с исполнителями проекта. Для этого инвестор открывает депозитный счет в банке, который выступает заемщиком, берущим под 13% годовых заем. Таким образом инвестор предполагает осуществлять равные по годам выплаты.

Поскольку в течение первого года банк пользуется полной суммой вклада инвестора, то, соответственно, сумма платежа (оттока денежных средств) исполнителям будет состоять из начисленных процентов, равных 3,9 , и оставшейся части, составляющей: А - 3,9. В последующих периодах времени аналогичный расчет будет повторяется при условии, что сумма первоначального вклада инвестора будет сокращаться, а доля платежа возрастать. Например, после окончания второго года банк также перечислит исполнителям определенную инвестором сумму. При этом размер денег от начисляемых банком процентов будет сокращаться по мере его расчетов с исполнителями.

Для определения годового платежа А используем формулу 19.26.

где А = 30 /3,517 = 8,53 тыс. руб.

На практике возможны ситуации, когда денежные поступления продолжаются достаточно длительное время. В этих случаях аннуитет называется бессрочным, или вечной рентой, т.е. п → ∞. К бессрочным аннуитетам в зарубежной практике относят аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет. Поскольку определение будущей стоимости поступлений не имеет смысла, нахождение приведенной стоимости представляет определенный практический интерес.

Для бессрочного аннуитета постнумерандо используется следующая формула

Формула (19.27) показывает, что поток даже с неограниченным числом платежей имеет все же конечную приведенную к начальному моменту времени стоимость.

Таким образом, рассмотренные денежные потоки в виде рент и аннуитетов с финансовой точки зрения представляют практический интерес при выборе рациональной схемы финансирования.

Тема 8. ДЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ

1. Оценка постоянного аннуитета пренумерандо.

2. Метод депозитной книжки.

3. Бессрочный аннуитет.

4. Непрерывный аннуитет.

Если на денежные поступления начисляются только сложные проценты, то соответствующие расчетные формулы для нара­щенных сумм аннуитета пренумерандо можно легко вы­вести из формул (7.7), (7.11), (7.12), (7.14). Поскольку денежные поступления в аннуитете пренумерандо происходят в начале каждого периода, то этот аннуитет отличается от аннуитета постнумерандо количеством периодов начисления процентов.

Например, для срочного аннуитета пренумерандо с регуляр­ными денежными поступлениями, равными А , и процентной ставкой , наращенный денежный поток имеет вид

следовательно, учитывая (7.7),

т.е. наращенная сумма (будущая стоимость) аннуитета пренуме­рандо больше в раз наращенной суммы аннуитета постнумерандо.

Аналогичным образом для аннуитета пренумерандо с начис­лением процентов раз в течение базового периода, используя (4.11), получим:

(7.32)

Для р -срочных аннуитетов с учетом (4.12), (4.14) можно на­писать следующие соотношения:

(7.33)

(7.34)

Конечно, (7.31) - (7.33) являются частными случаями (7.34). Из формулы (7.34) следует, что . Финансовый смысл этого неравенства очевиден: для получателя денежные поступления пренумерандо выгоднее, так как они начинаются на период раньше, чем постнумерандо, т.е. подтверждается вре­менная ценность денег: деньги "сейчас" предпочтительнее, чем "потом".

Несколько иной будет ситуация в р -срочном аннуитете пре­нумерандо, когда на взносы, поступающие в течение базового периода, начисляются простые проценты. В отличие от аннуи­тета постнумерандо в этом аннуитете в каждом периоде любой взнос "действует" еще ю) часть периода, тем самым доставляя к концу периода дополнительную величину. Следовательно, к концу каждого периода взносы, число которых равно р , доставят величину .

После таких рассуждений качественного характера выведем аналитически формулу для будущей стоимости .

На последнее р -е поступление начисляются простые проценты за ю) часть периода, и оно будет равно , предпоследнее -е поступление станет равным и т.д. до первого поступления, которое станет равным . Следовательно, сумма этих величин, образующих арифметиче­скую прогрессию, равна:

Таким образом, используя (7.13), получим:

С финансовой точки зрения эта формула следует из приве­денных качественных рассуждений. Поскольку к концу каждого периода взносы доставляют дополнительную величину , то к будущей стоимости исходного аннуитета постнумерандо нужно прибавить еще будущую стоимость аннуитета постнумерандо с денежными поступлениями, равными , а это и есть второе слагаемое в формуле (7.35). Естественно, и в этом случае .

В случае начисления только сложных процентов формулы для расчетов приведенных стоимостей аннуитетов пренумеран­до имеют вид, аналогичный формулам (7.31) - (7.34), т.е. нахо­дится приведенная стоимость соответствующего аннуитета по­стнумерандо и затем полученное значение умножается на соот­ветствующий множитель наращения. Таким образом, рассмат­ривая различные аннуитеты, можно написать:

(7.37)

(7.38)

(7.39)

Ясно, что . Из приведенных формул понятно, почему в финансовых таблицах не уточняется, какая схема под­разумевается в финансовой сделке - постнумерандо или пре­нумерандо; содержание финансовой таблицы инвариантно к этому фактору. Однако при применении расчетных формул или финансовых таблиц необходимо строго следить за схемой по­ступления денежных платежей.

Пример:

Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос в размере 10 тыс. руб. Банк платит 20% годовых. Какая сумма бу­дет на счете по истечении трех лет?

В данном случае мы имеем дело с аннуитетом пренумерандо, будущую стоимость которого и предлагается оценить. В соот­ветствии с формулой (7.31) найдем искомую сумму S:

Многие практические задачи могут быть решены различны­ми способами в зависимости от того, какой денежный поток вы­делен аналитиком. Рассмотрим простейший пример.

Пример:

Вам предложено инвестировать 100 тыс. руб. на срок пять лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 тыс. тенге). По истечении пяти лет выплачивается дополни­тельное вознаграждение в размере 30 тыс. руб. Принимать ли это предложение, если можно "безопасно" депонировать деньги в банк из расчета 12% годовых?

тыс. тенге

В отношении альтернативного варианта, предусматривающе­го возмещение вложенной суммы частями, предполагается, что ежегодные поступления в размере 20 тыс. тенге можно немед­ленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив по эффективному использованию этих сумм, их можно депонировать в банк. Денежный поток в этом случае можно представить двояко:

а) как срочный аннуитет постнумерандо с , , и единовременное получение суммы в 30 тыс. тенге;

б) как срочный аннуитет пренумерандо с , , и единовременное получение сумм в 20 и 30 тыс. тенге.

В первом случае на основании формулы (7.7) имеем:

тыс. тенге.

Во втором случае на основании формулы (7.31) имеем:

тыс. тенге.

Естественно, что оба варианта привели к одинаковому отве­ту. Таким образом, общая сумма капитала к концу пятилетнего периода будет складываться из доходов от депонирования денег в банке (107,056 тыс. тенге), возврата доли от участия в венчур­ном проекте за последний год (20 тыс. тенге) и единовременного вознаграждения (30 тыс. тенге). Общая сумма составит, следова­тельно, 157,056 тыс. тенге. Предложение экономически нецелесо­образно.

В случае антисипативного начисления процентов формулы для оценки аннуитета пренумерандо получаются таким же обра­зом, как и приведенные ранее формулы. Величины будут умножаться на соответствующий множитель. На­пример, формулы типа (7.31), (7.36) будут иметь вид:

(7.40)

(7.41)

Если начисляются непрерывные проценты, то для получения формул определения будущей или приведенной стоимости ан­нуитета пренумерандо необходимо перейти к пределу при , например, в формулах (7.34), (7.39). Так, в частности, из (7.34) следует, что для непрерывных процентов

,

Пример 23.

В пенсионный фонд ежегодно в начале года вносятся суммы в размере 25 тыс.руб., на которые начисляются сложные проценты по ставке 3% годовых. Определите сумму, накопленную в фонде через 10 лет и сумму начисленных процентов.

Решение:

Рента пренумерандо, годовая, начисление процентов один раз в год. Используем формулу

S = S (1 + i) = 25000 1,03 = 295194 (руб.)

I = 295194 – 25000 = 270194 (руб.)

Исчисление современной стоимости финансовых рент имеет большее практическое значение, чем вычисление наращенной стоимости. Рассмотрим задачу по оценке инвестиционного проекта.

Пример 24.

В течение 4 лет ожидаются поступления от реализации проекта в размере 2 млн. руб. в конце каждого полугодия. Единовременные вложения в проект в начале первого года составили 10 млн. руб. Будут ли данные вложения убыточны или принесут прибыль, при использовании годовой процентной ставки 6%.

Решение:

Поступления в размере 2 млн. руб. ожидаются в течение четырех лет. Поскольку это разновременные выплаты, необходимо привести их к одной дате. Оценим стоимость этих выплат на начало первого года. Для этого используем формулу современной стоимости р-срочной ренты постнумерандо с начислением процентов один раз в году (См. Справочник, Таблица «Аннуитет постнумерандо».)

Теория современной стоимости аннуитета нашла прикладное значение в задачах погашения задолженности равными срочными выплатами. Выше в главе 1 мы уже рассматривали составление плана погашения кредита равными суммами. В данной главе остановимся на задаче погашения задолженности с помощью применения формул финансовой ренты. Экономическая постановка задачи заключается в следующем. Задолженность на начало срока определена в сумме А, ее необходимо погасить равными срочными уплатами R, которые включают в себя начисленные проценты по ставке i. Очевидно, данная задача может быть решена с помощью формул современного значения финансовой ренты.

Пример 25.

Пусть задолженность на текущий момент равна 250000 руб. Долг предлагается погасить в течение 5 лет при использовании процентной ставки 30% годовых. Долг погашается равными срочными уплатами, включающими начисленные проценты Составить план погашения задолженности.

Решение:

Очевидно, что текущая задолженность 250000 руб. представляет собой современную стоимость финансовой ренты с ежегодными платежами R. Рассчитаем срочные выплаты R на основе формулы современного значения годовой ренты постнумерандо (См. Справочник, Таблица «Аннуитет – постнумерандо»).

Суммы 102645 руб. выплачиваются в течение пяти лет ежегодно и включают начисленные проценты. Рассчитаем начисленные проценты за первый год:

Сумма погашения долга в первом году составляет:

102645-75000=27645 (руб.)

Во втором году остаток долга равен:

250000-27645=222355 (руб.)

На эту сумму во втором году начисляются проценты:

Сумма к погашению во втором году равна.

Аннуитет пренумерандо – англ. Annuity Due , представляет собой серию платежей, которые периодически осуществляются в начале каждого периода (например, месяц, квартал, полугодие или год). Этот тип инструмента может представлять из себя инвестицию или кредит, в зависимости от цели и владельца аннуитета. Примером аннуитета могут служить сберегательные счета, страховые полисы, ипотека и другие подобные инвестиции. Ключевой особенностью аннуитета пренумерандо является то, что все платежи осуществляются в начале каждого периода.

Концепция стоимости денег во времени предполагает широкое использование аннуитетов в финансовых расчетах. Ее суть заключается в том, что стоимость 1 у.е. сегодня выше, чем стоимость 1 у.е. завтра. Например, банки и другие финансовые институты предлагают выплачивать проценты по депозитам, стимулируя инвесторов вкладывать свои свободные средства. В этой ситуации возникает понятие упущенной выгоды, когда инвестор мог бы получить доход, вложив свои средства, но не сделал это. На этом и базируется концепция стоимости денег во времени, которая использует такие понятия как будущая стоимость, настоящая стоимость, процентная ставка, ставка дисконтирования или требуемая норма доходности (англ. Required Rate of Return ), инвестиционный горизонт.

где A – размер платежа;

i – процентная ставка за период;

N – количество периодов.

Например, инвестор намеревается ежемесячно размещать на депозит по 500 у.е. в течение 2-ух лет под 7% годовых при условии, что каждый взнос будет осуществляться в начале каждого месяца. Чтобы рассчитать сумму, которая будет в распоряжении инвестора воспользуемся приведенной выше формулой. Однако прежде необходимо привести годовую процентную ставку к месячной, которая составит 0,583% (7%/12). При этом количество периодов составит 24 (24 месяца).

Таким образом в распоряжении инвестора через два года окажется сумма в размере 12914,87 у.е.

Для расчета настоящей стоимости аннуитета пренумерандо необходимо использовать следующую формулу.

Эта формула, например, может быть использована для расчета размера аннуитетного платежа по кредиту. Допустим, заемщик намеревается взять кредит в банке на сумму 25000 у.е. сроком на 5 лет под 17% годовых при условии, что кредит будет погашаться ежемесячно. Чтобы рассчитать размер платежа необходимо воспользоваться формулой настоящей стоимости аннуитета пренумерандо, выразив из нее платеж (A ).

Для оценки движения финансовых потоков во времени применяют различные формулы финансовой математики , в том числе и расчет будущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо.

Постнумерандо - поступления выплат происходят в конце периода.

денежный поток , состоящий из одинаковых по величине выплат и существующий определенное время можно пересчитать в будущую стоимость, суммировав все наращенные выплаты с учетом условия постнумерандо.

Наращение - финансовая операция, при которой происходит расчет будущей стоимости сегодняшней инвестиции при заданном сроке и процентной ставке .

Формула будущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо:

FV - будущая стоимость;

r - процентная ставка , долей единиц;
n - количество лет.

FV = 100 * ((1 + 0,12) 5 + (1 + 0,12) 4 + (1 + 0,12) 3 + (1 + 0,12) 2 + (1 + 0,12)) = 635 рублей.

Планируемая к получению сумма, при вышеприведенных условиях, составит 635 рублей.

Рис. 1. График будущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо ссудного процента 4, 12, 20, 28% годовых

Будущая стоимость срочного аннуитета пренумерандо

Для оценки движения финансовых потоков во времени применяют различные формулы финансовой математики , в том числе и расчет будущей стоимости срочного аннуитета пренумерандо.

Пренумерандо - поступления выплат происходят в начале периода.

Сущность расчета заключается в том, что денежный поток , состоящий из одинаковых по величине выплат и существующий определенное время можно пересчитать в будущую стоимость, суммировав все наращенные выплаты с учетом условия пренумерандо.

Формула приведенной стоимости срочного аннуитета пренумерандо:

FV - будущая стоимость;
A - величина равномерного поступления;
r - процентная ставка , долей единиц;
n - количество лет.

FV = 100 * (1 + 0,12) * ((1 + 0,12) 5 + (1 + 0,12) 4 + (1 + 0,12) 3 +...
+(1 + 0,12) 2 + (1 + 0,12)) = 711,51 рублей.

Рис. 2. График будущей стоимости срочного аннуитета пренумерандо ; конечные стоимости при ежегодных поступлениях 1000 руб. и ставки ссудного процента 4, 12, 20, 28% годовых

На тему этой методики существуют примеры